Номер 213, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите сторону основания пирамиды.

213. Основанием пирамиды является ромб с углом $\alpha$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен $r$. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть $a$ – сторона ромба, являющегося основанием пирамиды. Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в ромб. Обозначим высоту пирамиды как $H$, а радиус вписанной в основание окружности как $r_{осн}$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды и апофему боковой грани. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$, а гипотенузой — апофема боковой грани. Угол между апофемой и радиусом $r_{осн}$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания и равен $\beta$.

Центр вписанного в пирамиду шара лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра шара до плоскости основания равно радиусу шара $r$. Также центр вписанного шара лежит в биссекторной плоскости любого двугранного угла. В рассматриваемом нами сечении след этой биссекторной плоскости является биссектрисой угла $\beta$.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом вписанной в основание окружности $r_{осн}$, отрезком высоты пирамиды, равным радиусу вписанного шара $r$, и частью биссектрисы угла $\beta$. В этом треугольнике тангенс угла $\frac{\beta}{2}$ равен отношению противолежащего катета $r$ к прилежащему $r_{осн}$:

$\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{r}{r_{осн}}$

Отсюда выразим радиус вписанной в основание окружности:

$r_{осн} = \frac{r}{\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)} = r \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Теперь свяжем радиус вписанной в ромб окружности с его стороной $a$ и углом $\alpha$. Высота ромба $h_{ромба}$ связана со стороной и углом соотношением $h_{ромба} = a \sin(\alpha)$. Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:

$r_{осн} = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$

Приравнивая два полученных выражения для $r_{осн}$, получаем уравнение для нахождения стороны основания $a$:

$\frac{a \sin(\alpha)}{2} = r \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Выразим $a$ из этого уравнения:

$a = \frac{2r \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $a = \frac{2r \cot(\frac{\beta}{2})}{\sin(\alpha)}$