Номер 217, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Радиус основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения конуса — $135^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

217. Радиус основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения конуса — $135^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Пусть дан конус, у которого радиус основания $r = 6$ см, а угол при вершине осевого сечения $\alpha = 135^\circ$. Необходимо найти радиус $R$ шара, описанного около этого конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а боковые стороны — образующим конуса. Обозначим это сечение как $\triangle ASB$, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания.

В $\triangle ASB$:

• Основание $AB = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.
• Угол при вершине $\angle ASB = 135^\circ$.

Радиус шара, описанного около конуса, равен радиусу окружности, описанной около его осевого сечения, то есть около $\triangle ASB$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

Применительно к $\triangle ASB$, где сторона $AB$ противолежит углу $\angle ASB$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ASB)} = 2R$

Подставим известные значения:

$\frac{12}{\sin(135^\circ)} = 2R$

Найдем значение синуса: $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$\frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R$

$\frac{24}{\sqrt{2}} = 2R$

Выразим $R$:

$R = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.