Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Высота цилиндра равна $H$ и образует с диагональю осевого сечения цилиндра угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

215. Высота цилиндра равна $H$ и образует с диагональю осевого сечения цилиндра угол $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Оно представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D_{cyl} = 2r$, где $r$ - радиус основания цилиндра.

Диагональ этого прямоугольника, обозначим ее $d$, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота $H$ и диаметр основания $2r$.

Согласно условию задачи, угол между высотой $H$ (которая является катетом) и диагональю осевого сечения $d$ (которая является гипотенузой) равен $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике следует, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{H}{d}$

Из этого соотношения выразим диагональ $d$:

$d = \frac{H}{\cos(\alpha)}$

Шар, описанный около цилиндра, имеет диаметр, равный диагонали осевого сечения цилиндра. Если $R$ - это искомый радиус шара, то его диаметр равен $2R$.

Таким образом, мы можем приравнять диаметр шара и диагональ сечения:

$2R = d$

Подставим найденное ранее выражение для $d$:

$2R = \frac{H}{\cos(\alpha)}$

Разделив обе части уравнения на 2, найдем радиус шара $R$:

$R = \frac{H}{2\cos(\alpha)}$

Ответ: $R = \frac{H}{2\cos(\alpha)}$

216. В шар, радиус которого равен 5 см, вписан цилиндр, образующая которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

216. В шар, радиус которого равен 5 см, вписан цилиндр, образующая которого равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра используется формула:

$S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ - радиус основания цилиндра, а $h$ - его высота (образующая).

В условии задачи даны высота цилиндра $h = 8$ см и радиус описанного шара $R = 5$ см. Нам необходимо найти радиус основания цилиндра $r$.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. Сечением шара является большая окружность радиусом $R$, а сечением цилиндра - прямоугольник с высотой $h$ и шириной $2r$. Вершины этого прямоугольника лежат на окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ (один катет) и половиной высоты цилиндра $\frac{h}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = r^2 + (\frac{h}{2})^2$

Подставим известные значения:

$R = 5$ см

$h = 8$ см, следовательно, $\frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Получаем уравнение:

$5^2 = r^2 + 4^2$

$25 = r^2 + 16$

$r^2 = 25 - 16$

$r^2 = 9$

$r = \sqrt{9} = 3$ см (радиус должен быть положительным).

Теперь, когда мы нашли радиус основания цилиндра $r = 3$ см, можем вычислить площадь его боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi$ см$^2$.

Ответ: $48\pi$ см$^2$.

217. Радиус основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения конуса — $135^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

217. Радиус основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения конуса — $135^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Пусть дан конус, у которого радиус основания $r = 6$ см, а угол при вершине осевого сечения $\alpha = 135^\circ$. Необходимо найти радиус $R$ шара, описанного около этого конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса, а боковые стороны — образующим конуса. Обозначим это сечение как $\triangle ASB$, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания.

В $\triangle ASB$:

• Основание $AB = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.
• Угол при вершине $\angle ASB = 135^\circ$.

Радиус шара, описанного около конуса, равен радиусу окружности, описанной около его осевого сечения, то есть около $\triangle ASB$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

Применительно к $\triangle ASB$, где сторона $AB$ противолежит углу $\angle ASB$:

$\frac{AB}{\sin(\angle ASB)} = 2R$

Подставим известные значения:

$\frac{12}{\sin(135^\circ)} = 2R$

Найдем значение синуса: $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение в формулу:

$\frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R$

$\frac{24}{\sqrt{2}} = 2R$

Выразим $R$:

$R = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

218. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота — 36 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

218. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота — 36 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — большую окружность, которая описана около этого треугольника. Вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, высоту конуса как $h$, и искомый радиус описанного шара как $R$.Из условия задачи имеем:$r = 15$ см$h = 36$ см

Центр описанного шара, обозначим его $O$, лежит на оси конуса (которая совпадает с высотой равнобедренного треугольника в осевом сечении). Пусть вершина конуса — точка $S$, а центр основания — точка $H$. Тогда высота конуса — это отрезок $SH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом основания конуса $r$ и частью высоты конуса. Возьмем точку $A$ на окружности основания конуса. Тогда $HA = r$ — это радиус основания. $OA = R$ — это радиус шара. Расстояние от центра шара $O$ до центра основания конуса $H$ равно $OH$.

Поскольку точка $S$ (вершина конуса) также лежит на сфере, расстояние $OS$ тоже равно радиусу шара $R$. Так как точки $S$, $O$, $H$ лежат на одной прямой (оси конуса), то $SH = SO + OH$ (если центр шара находится между вершиной и основанием) или $SH = OH - SO$. В нашем случае, высота конуса больше радиуса, поэтому центр шара будет находиться между вершиной и основанием.Таким образом, $h = R + OH$, откуда $OH = h - R$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$. По теореме Пифагора:$OA^2 = OH^2 + HA^2$

Подставим известные нам величины в это уравнение:$R^2 = (h - R)^2 + r^2$

Подставим числовые значения $h = 36$ и $r = 15$:$R^2 = (36 - R)^2 + 15^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:$R^2 = 36^2 - 2 \cdot 36 \cdot R + R^2 + 15^2$$R^2 = 1296 - 72R + R^2 + 225$

Сократим $R^2$ с обеих сторон уравнения:$0 = 1296 - 72R + 225$

Перенесем слагаемое с $R$ в левую часть:$72R = 1296 + 225$$72R = 1521$

Теперь найдем $R$:$R = \frac{1521}{72}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:$R = \frac{1521 \div 9}{72 \div 9} = \frac{169}{8}$

Преобразуем дробь в десятичное число:$R = 21,125$ см.

Ответ: 21,125 см.

219. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

219. Образующая конуса равна $a$ и наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите площадь большого круга шара, описанного около конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — большой круг, который является описанной около этого треугольника окружностью. Радиус этого большого круга и есть радиус описанного шара.

Пусть осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник $ABC$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Тогда боковые стороны $AB$ и $AC$ равны образующей конуса, то есть $AB = AC = a$. Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между образующей и радиусом основания в осевом сечении. Следовательно, углы при основании треугольника $ABC$ равны $\alpha$, то есть $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$.

Радиус $R$ описанного шара совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABC$. Для нахождения этого радиуса воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

Возьмем сторону $AC=a$. Противолежащий ей угол — это $\angle ABC = \alpha$. Тогда:
$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R$
Подставим известные значения:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R$
Отсюда выражаем радиус описанного шара $R$:
$R = \frac{a}{2 \sin(\alpha)}$

Площадь большого круга шара вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставим найденное выражение для радиуса $R$:
$S = \pi \left( \frac{a}{2 \sin(\alpha)} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2}{4 \sin^2(\alpha)}$

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Радиус шара, соединяющий его центр с точкой окружности основания конуса, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Радиус шара, соединяющий его центр с точкой окружности основания конуса, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Обозначим искомые параметры конуса: $r$ — радиус основания, $l$ — образующая, $h$ — высота. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Для решения задачи необходимо выразить $r$ и $l$ через радиус описанного шара $R$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось конуса. В сечении мы получим равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара. Пусть $S$ — вершина конуса, $O'$ — центр его основания, а $A$ — произвольная точка на окружности основания. Тогда $r = O'A$, $h = SO'$, $l = SA$. Центр описанного шара $O$ лежит на оси конуса $SO'$.

Согласно условию, радиус шара $OA$, соединяющий центр шара $O$ с точкой $A$ на окружности основания конуса, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией отрезка $OA$ на плоскость основания является отрезок $O'A$. Следовательно, угол между $OA$ и его проекцией $O'A$ есть $\angle OAO' = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO'$ (с прямым углом при вершине $O'$). Гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R$. Катет $O'A$ — это радиус основания конуса $r$. Из определения косинуса находим: $r = O'A = OA \cdot \cos(\alpha) = R \cos\alpha$.

Катет $OO'$ — это расстояние от центра шара до плоскости основания конуса. Из определения синуса находим: $OO' = OA \cdot \sin(\alpha) = R \sin\alpha$.

В условии сказано, что осевое сечение конуса является остроугольным треугольником. Для вписанного в окружность треугольника это означает, что центр описанной окружности (в нашем случае — центр шара $O$) лежит внутри этого треугольника. Таким образом, точка $O$ находится на оси конуса между вершиной $S$ и центром основания $O'$.

Высота конуса $h$ равна расстоянию $SO'$. Так как $O$ лежит между $S$ и $O'$, высота конуса равна сумме радиуса шара $SO$ и расстояния $OO'$: $h = SO' = SO + OO' = R + R \sin\alpha = R(1 + \sin\alpha)$.

Теперь найдем образующую конуса $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SO'A$ (с прямым углом при вершине $O'$). По теореме Пифагора $l^2 = h^2 + r^2$. Подставим найденные выражения для $h$ и $r$: $l^2 = (R(1 + \sin\alpha))^2 + (R \cos\alpha)^2$ $l^2 = R^2 (1 + 2\sin\alpha + \sin^2\alpha) + R^2 \cos^2\alpha$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $l^2 = R^2 (1 + 2\sin\alpha + 1) = R^2 (2 + 2\sin\alpha) = 2R^2(1 + \sin\alpha)$ Отсюда, $l = \sqrt{2R^2(1 + \sin\alpha)} = R\sqrt{2(1 + \sin\alpha)}$.

Зная радиус основания $r$ и образующую $l$, мы можем найти площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l = \pi (R \cos\alpha) \cdot (R\sqrt{2(1 + \sin\alpha)})$ $S_{бок} = \pi R^2 \cos\alpha \sqrt{2(1 + \sin\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок} = \pi R^2 \cos\alpha \sqrt{2(1 + \sin\alpha)}$

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4,5 см и 10,5 см, а диагональ его осевого сечения — 17 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

221. Радиусы оснований усечённого конуса равны 4,5 см и 10,5 см, а диагональ его осевого сечения — 17 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса.

Сфера, описанная около усечённого конуса, является также сферой, описанной около его осевого сечения. Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около этой трапеции.

По условию, радиусы оснований усечённого конуса равны $r_1 = 4,5$ см и $r_2 = 10,5$ см. Следовательно, основания равнобокой трапеции, являющейся осевым сечением, равны диаметрам оснований конуса:

• Меньшее основание трапеции: $b_1 = 2r_1 = 2 \cdot 4,5 = 9$ см.
• Большее основание трапеции: $b_2 = 2r_2 = 2 \cdot 10,5 = 21$ см.

Диагональ осевого сечения (трапеции) равна $d = 17$ см.

Для дальнейших расчетов найдем высоту трапеции $h$. Пусть осевое сечение — это трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=21$ и $BC=9$. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$ можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{21 + 9}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$, в котором гипотенуза $AC=17$ см (диагональ) и катет $AH=15$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $CH$, который является высотой трапеции $h$:

$h^2 = CH^2 = AC^2 - AH^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$ см$^2$.

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем сторону $AD = 21$ см, сторону $AC = 17$ см. Найдем сторону $CD$, которая является образующей конуса (и боковой стороной трапеции).

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Катет $CH = h = 8$ см. Длина катета $HD$ равна:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 9}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$:

$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ см$^2$.

$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь мы знаем все три стороны треугольника $ACD$: $a=AC=17$ см, $b=CD=10$ см, $c=AD=21$ см. Радиус $R$ описанной окружности для треугольника можно найти по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника.

Площадь треугольника $ACD$ найдем как половину произведения основания на высоту:

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$ см$^2$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{AC \cdot CD \cdot AD}{4S_{ACD}} = \frac{17 \cdot 10 \cdot 21}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336}$

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{17 \cdot 10 \cdot 21}{16 \cdot 21} = \frac{17 \cdot 10}{16} = \frac{17 \cdot 5}{8} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Таким образом, радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса, равен $10,625$ см.

Ответ: $10,625$ см.

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна 16 см и перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 10 см.

222. Диагональ осевого сечения усечённого конуса равна 16 см и перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если радиус шара, описанного около него, равен 10 см.

Пусть осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция $ABCD$, где $CD$ — большее основание, а $AD$ — боковая сторона (образующая). Пусть $R$ и $r$ — радиусы нижнего и верхнего оснований конуса, а $l$ — его образующая. Тогда $CD = 2R$, $AB = 2r$, и $AD = l$. Диагональ осевого сечения — это диагональ трапеции $AC$. По условию, $AC = 16$ см. Также по условию диагональ $AC$ перпендикулярна образующей $AD$, следовательно, $\angle CAD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным. Около усечённого конуса описана сфера радиусом $R_{сф} = 10$ см. Это означает, что около осевого сечения (трапеции $ABCD$) описана окружность, радиус которой равен радиусу сферы. Эта окружность также является описанной окружностью для треугольника $ACD$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. В треугольнике $ACD$ гипотенузой является сторона $CD$. Таким образом:$R_{сф} = \frac{CD}{2}$Поскольку $CD = 2R$, получаем:$R_{сф} = \frac{2R}{2} = R$Из условия $R_{сф} = 10$ см, следовательно, радиус нижнего основания конуса $R = 10$ см.

Теперь мы можем найти длину образующей $l$ из прямоугольного треугольника $ACD$ по теореме Пифагора:$CD^2 = AC^2 + AD^2$$(2R)^2 = 16^2 + l^2$$(2 \cdot 10)^2 = 256 + l^2$$400 = 256 + l^2$$l^2 = 400 - 256 = 144$$l = 12$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности нам также нужен радиус верхнего основания $r$. Проведём в трапеции $ABCD$ высоту $AH_1$ из вершины $A$ на основание $CD$. $AH_1$ является высотой усечённого конуса $h$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ высота $AH_1$, проведённая к гипотенузе $CD$, может быть найдена через площадь треугольника.Площадь треугольника $ACD$ можно вычислить двумя способами:$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96$ см$^2$.$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH_1 = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h = 10h$.Приравнивая два выражения для площади, получаем:$10h = 96 \implies h = 9.6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, образующей $l$ и отрезком на нижнем основании, равным $R-r$. По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (R-r)^2$$12^2 = (9.6)^2 + (10-r)^2$$144 = 92.16 + (10-r)^2$$(10-r)^2 = 144 - 92.16 = 51.84$$10-r = \sqrt{51.84} = 7.2$$r = 10 - 7.2 = 2.8$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности усечённого конуса по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$:$S_{бок} = \pi(10 + 2.8) \cdot 12 = \pi \cdot 12.8 \cdot 12 = 153.6\pi$ см$^2$.

Ответ: $153.6\pi$ см$^2$.

223. Образующая усечённого конуса наклонена к плоскости большего основания под углом $α$, а радиусы оснований конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

223. Образующая усечённого конуса наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$, а радиусы оснований конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанного около него шара. Осевым сечением конуса является равнобокая трапеция, а сечением шара — большой круг, который описан около этой трапеции. Таким образом, радиус описанного шара $R_{сф}$ равен радиусу окружности, описанной около этой трапеции.

Пусть осевое сечение — трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Длины оснований равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R$, $BC = 2r$. Боковая сторона $AB$ является образующей конуса. Угол наклона образующей к плоскости большего основания — это угол $\angle BAD = \alpha$.

Найдем высоту трапеции $H$ и ее диагональ $d$. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $AK$ равен:
$AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

Высота трапеции $H = BK$ находится из треугольника $ABK$:
$H = AK \cdot \tan(\alpha) = (R - r) \tan(\alpha)$.

Теперь найдем диагональ трапеции $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKD$. Катет $KD$ равен:
$KD = AD - AK = 2R - (R - r) = R + r$.
По теореме Пифагора для треугольника $BKD$:
$d^2 = BD^2 = BK^2 + KD^2 = H^2 + (R + r)^2 = ((R - r) \tan(\alpha))^2 + (R + r)^2$.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABD$. По теореме синусов для треугольника $ABD$ имеем:
$2R_{сф} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{d}{\sin(\alpha)}$.
Отсюда $R_{сф} = \frac{d}{2\sin(\alpha)}$.

Возведем в квадрат и подставим выражение для $d^2$:
$R_{сф}^2 = \frac{d^2}{4\sin^2(\alpha)} = \frac{((R - r) \tan(\alpha))^2 + (R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$.

Упростим полученное выражение, используя то, что $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:
$R_{сф}^2 = \frac{(R - r)^2 \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + (R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)} = \frac{(R - r)^2 \sin^2(\alpha)}{4\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)} + \frac{(R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$
$R_{сф}^2 = \frac{(R - r)^2}{4\cos^2(\alpha)} + \frac{(R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$.

Извлекая квадратный корень, получаем итоговую формулу для радиуса описанного шара:
$R_{сф} = \sqrt{\frac{(R - r)^2}{4\cos^2(\alpha)} + \frac{(R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(R-r)^2}{\cos^2\alpha} + \frac{(R+r)^2}{\sin^2\alpha}}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(R-r)^2}{\cos^2\alpha} + \frac{(R+r)^2}{\sin^2\alpha}}$