Страница 22 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны $\sqrt{2}$ см и $3\sqrt{2}$ см, а высота — 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

170. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны $ \sqrt{2} $ см и $ 3\sqrt{2} $ см, а высота – 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Так как правильная четырёхугольная усечённая пирамида вписана в усечённый конус, её основаниями являются квадраты, вписанные в окружности оснований конуса. Найдём стороны этих квадратов.

Сторона квадрата $a$, вписанного в окружность радиуса $R_{circ}$, связана с радиусом соотношением $a = R_{circ}\sqrt{2}$.

Для большего основания (нижнего) радиус конуса $R = 3\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a_1$ равна:
$a_1 = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Периметр большего основания: $P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Для меньшего основания (верхнего) радиус конуса $r = \sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a_2$ равна:
$a_2 = r\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ см.
Периметр меньшего основания: $P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Далее найдём апофему $l$ усечённой пирамиды. Апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — это высота пирамиды $h$ и разность апофем оснований $m_1 - m_2$. Апофема основания квадрата (радиус вписанной в него окружности) равна половине его стороны.

Апофема большего основания: $m_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Апофема меньшего основания: $m_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
Высота пирамиды $h$ равна высоте конуса, $h=1$ см.
По теореме Пифагора:
$l = \sqrt{h^2 + (m_1 - m_2)^2} = \sqrt{1^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2}(24 + 8) \cdot \sqrt{5} = \frac{32}{2}\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{5}$ см$^2$.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, высота – 3 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

171. Около усечённого конуса описана правильная усечённая треугольная пирамида. Сторона меньшего основания усечённой пирамиды равна 6 см, высота — 3 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса используется формула $S_{бок} = \pi(R+r)L$, где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, а $L$ – образующая конуса. Найдем эти величины.

1. Нахождение радиуса меньшего основания конуса (r)

Так как правильная усеченная треугольная пирамида описана около усеченного конуса, то окружность меньшего основания конуса вписана в правильный треугольник, являющийся меньшим основанием пирамиды. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности находится по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ – сторона треугольника.

По условию, сторона меньшего основания усеченной пирамиды $a_1 = 6$ см. Тогда радиус меньшего основания конуса равен:

$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

2. Нахождение радиуса большего основания конуса (R)

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды, проходящее через апофемы. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, в которой основаниями являются апофемы оснований пирамиды (которые равны радиусам вписанных окружностей $R$ и $r$), а боковой стороной – апофема усеченной пирамиды. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды $H = 3$ см.

Двугранный угол усеченной пирамиды при ребре большего основания – это угол между боковой гранью и плоскостью большего основания. В нашем сечении этот угол равен углу между апофемой пирамиды и радиусом $R$ большего основания. Он равен $30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, разностью радиусов $R-r$ и апофемой усеченной пирамиды. В этом треугольнике:

$\tan(30^\circ) = \frac{H}{R-r}$

Отсюда найдем разность радиусов:

$R-r = \frac{H}{\tan(30^\circ)} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти радиус большего основания $R$:

$R = r + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение образующей усечённого конуса (L)

Образующая конуса $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота конуса $H$ и разность радиусов его оснований $R-r$. По теореме Пифагора:

$L = \sqrt{H^2 + (R-r)^2}$

$L = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 9 \cdot 3} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см.

4. Нахождение площади боковой поверхности усечённого конуса

Теперь, имея все необходимые значения, вычислим площадь боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi(R+r)L = \pi(4\sqrt{3} + \sqrt{3}) \cdot 6 = \pi(5\sqrt{3}) \cdot 6 = 30\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $30\pi\sqrt{3}$ см².

172. На сфере с центром $O$ отметили точки $A$ и $B$ такие, что расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно 12 см. Найдите отрезок $AB$, если радиус сферы равен 13 см.

172. На сфере с центром $O$ отметили точки $A$ и $B$ такие, что расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно 12 см. Найдите отрезок $AB$, если радиус сферы равен 13 см.

Пусть $O$ — центр сферы, а $A$ и $B$ — точки на сфере. Тогда отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами сферы. По условию, радиус сферы равен 13 см, следовательно, $OA = OB = 13$ см.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как две его стороны ($OA$ и $OB$) равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, отрезок $OH$ является высотой треугольника $OAB$, проведенной к основанию $AB$. По условию, длина этой высоты $OH = 12$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AB$ пополам: $AH = HB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$ (угол $OHA$ прямой). Гипотенуза $OA = 13$ см, катет $OH = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $AH$:

$OA^2 = OH^2 + AH^2$

$AH^2 = OA^2 - OH^2$

$AH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$AH = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как $H$ — середина отрезка $AB$, то длина всего отрезка $AB$ равна удвоенной длине $AH$:

$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

173. Радиус сферы равен 3,6 см. Как относительно сферы — внутри сферы, на сфере или вне сферы — расположена точка A, если она удалена от центра сферы:

1) на $3\frac{3}{5}$ см;

2) на $3\frac{3}{4}$ см;

3) на $3\frac{1}{2}$ см?

173. Радиус сферы равен 3,6 см. Как относительно сферы — внутри сферы, на сфере или вне сферы — расположена точка A, если она удалена от центра сферы:

1) на $3\frac{3}{5}$ см;

2) на $3\frac{3}{4}$ см;

3) на $3\frac{1}{2}$ см?

Чтобы определить положение точки A относительно сферы, нужно сравнить расстояние от этой точки до центра сферы (обозначим его $d$) с радиусом сферы $R$. По условию, радиус сферы $R = 3,6$ см.
Возможны три случая:
- если расстояние от точки до центра меньше радиуса ($d < R$), точка находится внутри сферы;
- если расстояние от точки до центра равно радиусу ($d = R$), точка находится на сфере;
- если расстояние от точки до центра больше радиуса ($d > R$), точка находится вне сферы.
Для решения задачи сравним каждое из заданных расстояний с радиусом сферы, предварительно представив все числа в виде десятичных дробей.

1) Расстояние от точки A до центра сферы равно $d_1 = 3 \frac{3}{5}$ см.
Переведем смешанную дробь в десятичную: $3 \frac{3}{5} = 3 + \frac{3}{5} = 3 + 0,6 = 3,6$ см.
Сравним расстояние $d_1$ с радиусом $R$: $3,6 \text{ см} = 3,6 \text{ см}$.
Так как $d_1 = R$, точка A расположена на сфере.
Ответ: на сфере.

2) Расстояние от точки A до центра сферы равно $d_2 = 3 \frac{3}{4}$ см.
Переведем смешанную дробь в десятичную: $3 \frac{3}{4} = 3 + \frac{3}{4} = 3 + 0,75 = 3,75$ см.
Сравним расстояние $d_2$ с радиусом $R$: $3,75 \text{ см} > 3,6 \text{ см}$.
Так как $d_2 > R$, точка A расположена вне сферы.
Ответ: вне сферы.

3) Расстояние от точки A до центра сферы равно $d_3 = 3 \frac{1}{2}$ см.
Переведем смешанную дробь в десятичную: $3 \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = 3 + 0,5 = 3,5$ см.
Сравним расстояние $d_3$ с радиусом $R$: $3,5 \text{ см} < 3,6 \text{ см}$.
Так как $d_3 < R$, точка A расположена внутри сферы.
Ответ: внутри сферы.

174. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x-3)^2 + (y+7)^2 + (z-1)^2 = 81;$

2) $x^2 + y^2 + (z+5)^2 = 19.$

174. Определите по уравнению сферы координаты её центра и радиус:

1) $(x - 3)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2 = 81;$

2) $x^2 + y^2 + (z + 5)^2 = 19.$

Чтобы определить координаты центра и радиус сферы, необходимо сравнить данное уравнение с каноническим уравнением сферы: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

1) Дано уравнение $(x - 3)^2 + (y + 7)^2 + (z - 1)^2 = 81$.
Сравнивая его с каноническим видом, находим координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$:
Из $(x - 3)^2$ следует, что $x_0 = 3$.
Из $(y + 7)^2 = (y - (-7))^2$ следует, что $y_0 = -7$.
Из $(z - 1)^2$ следует, что $z_0 = 1$.
Таким образом, центр сферы имеет координаты $(3; -7; 1)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 81$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: центр $(3; -7; 1)$, радиус $R = 9$.

2) Дано уравнение $x^2 + y^2 + (z + 5)^2 = 19$.
Перепишем уравнение в стандартном виде, чтобы оно соответствовало каноническому:
$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - (-5))^2 = 19$.
Отсюда находим координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$:
$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $z_0 = -5$.
Таким образом, центр сферы имеет координаты $(0; 0; -5)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 19$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{19}$.
Ответ: центр $(0; 0; -5)$, радиус $R = \sqrt{19}$.

175. Составьте уравнение сферы с центром в точке $A(-5; 2; 13)$ и радиусом $r = 15$.

175. Составьте уравнение сферы с центром в точке $A (-5; 2; 13)$ и радиусом $r = 15$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$
По условию задачи, центр сферы находится в точке $A (-5; 2; 13)$, а радиус $r = 15$.
Следовательно, координаты центра сферы: $x_0 = -5$, $y_0 = 2$, $z_0 = 13$.
Подставим эти значения в общую формулу уравнения сферы:
$(x - (-5))^2 + (y - 2)^2 + (z - 13)^2 = 15^2$
Упростим полученное уравнение:
$(x + 5)^2 + (y - 2)^2 + (z - 13)^2 = 225$
Это и есть искомое уравнение сферы.
Ответ: $(x + 5)^2 + (y - 2)^2 + (z - 13)^2 = 225$

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AB, если $A (-2; 3; 4)$, $B (6; -3; 6)$.

176. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AB, если $A (-2; 3; 4)$, $B (6; -3; 6)$.

Уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$

Так как отрезок AB является диаметром сферы, ее центр $C$ является серединой этого отрезка. Найдем координаты центра $C$, используя формулы для нахождения координат середины отрезка: $$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ $$z_0 = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Следовательно, центр сферы — точка $C(2; 0; 5)$.

Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра AB. Найдем квадрат радиуса $R^2$. Квадрат радиуса равен квадрату расстояния от центра сферы до любой точки на ней, например, до точки A. $$R^2 = (x_A - x_0)^2 + (y_A - y_0)^2 + (z_A - z_0)^2$$ $$R^2 = (-2 - 2)^2 + (3 - 0)^2 + (4 - 5)^2 = (-4)^2 + 3^2 + (-1)^2 = 16 + 9 + 1 = 26$$

В качестве альтернативы можно найти квадрат длины диаметра AB, а затем разделить его на 4. $$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 = (6 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2 + (6 - 4)^2$$ $$AB^2 = 8^2 + (-6)^2 + 2^2 = 64 + 36 + 4 = 104$$ $$R^2 = \frac{AB^2}{4} = \frac{104}{4} = 26$$

Подставим найденные координаты центра $C(2; 0; 5)$ и квадрат радиуса $R^2 = 26$ в общее уравнение сферы: $$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 5)^2 = 26$$ Упростим запись: $$(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$$

Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 26$

177. Точки A (1; 0; z) и B (-1; y; 0) принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 10$. Найдите хорду AB.

177. Точки A (1; 0; z) и B (-1; y; 0) принадлежат сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 10$. Найдите хорду AB.

Поскольку точки $A (1; 0; z)$ и $B (-1; y; 0)$ принадлежат сфере, их координаты должны удовлетворять уравнению сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 10$.

Сначала найдем значения для $z^2$ и $y^2$, подставив координаты каждой точки в уравнение сферы.

Для точки $A (1; 0; z)$:

$1^2 + 0^2 + z^2 = 10$

$1 + z^2 = 10$

$z^2 = 9$

Для точки $B (-1; y; 0)$:

$(-1)^2 + y^2 + 0^2 = 10$

$1 + y^2 = 10$

$y^2 = 9$

Длина хорды $AB$ — это расстояние между точками $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$. Оно вычисляется по формуле:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим координаты точек $A (1; 0; z)$ и $B (-1; y; 0)$ в формулу расстояния:

$|AB| = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (y - 0)^2 + (0 - z)^2}$

$|AB| = \sqrt{(-2)^2 + y^2 + (-z)^2}$

$|AB| = \sqrt{4 + y^2 + z^2}$

Теперь подставим найденные ранее значения $y^2 = 9$ и $z^2 = 9$:

$|AB| = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$

Ответ: $\sqrt{22}$

178. Точка B принадлежит сфере $(x - 9)^2 + y^2 + (z + 12)^2 = 16$, точка O — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой OB, но не принадлежит отрезку OB. Найдите расстояние от точки B до начала координат.

178. Точка $B$ принадлежит сфере $(x - 9)^2 + y^2 + (z + 12)^2 = 16$, точка $O$ — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой $OB$, но не принадлежит отрезку $OB$. Найдите расстояние от точки $B$ до начала координат.

Уравнение сферы в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где точка $C(x_0, y_0, z_0)$ является центром сферы, а $R$ — её радиусом. Для данной сферы с уравнением $(x - 9)^2 + y^2 + (z + 12)^2 = 16$ находим, что её центр — это точка $C(9, 0, -12)$, а её радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Точка $O$ — это начало координат, то есть $O(0, 0, 0)$. Найдем расстояние от центра сферы $C$ до начала координат $O$ по формуле расстояния между двумя точками: $OC = \sqrt{(9-0)^2 + (0-0)^2 + (-12-0)^2} = \sqrt{81 + 0 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

По условию, точка $B$ принадлежит сфере, это означает, что расстояние от центра $C$ до точки $B$ равно радиусу сферы: $CB = R = 4$.

Также из условия известно, что центр сферы $C$ принадлежит прямой $OB$, но не принадлежит отрезку $OB$. Это означает, что точки $O$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой (коллинеарны), причём точка $C$ не находится между точками $O$ и $B$.

Так как точки $O$, $B$ и $C$ коллинеарны, а $C$ не лежит на отрезке $OB$, возможны два варианта их взаимного расположения на прямой:
1) Точка $B$ лежит между точками $O$ и $C$. В этом случае длина большего отрезка $OC$ равна сумме длин составляющих его отрезков: $OC = OB + BC$. Подставляя известные значения, получаем: $15 = OB + 4$. Отсюда находим искомое расстояние $OB = 15 - 4 = 11$.
2) Точка $O$ лежит между точками $B$ и $C$. В этом случае выполняется равенство: $BC = BO + OC$. Подставляя известные значения, получаем: $4 = BO + 15$. Отсюда $BO = 4 - 15 = -11$. Так как расстояние не может быть отрицательной величиной, этот вариант невозможен.

Таким образом, реализуется только первый случай, и расстояние от точки $B$ до начала координат равно 11.

Ответ: 11