Номер 178, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Точка B принадлежит сфере $(x - 9)^2 + y^2 + (z + 12)^2 = 16$, точка O — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой OB, но не принадлежит отрезку OB. Найдите расстояние от точки B до начала координат.

178. Точка $B$ принадлежит сфере $(x - 9)^2 + y^2 + (z + 12)^2 = 16$, точка $O$ — начало координат. Центр данной сферы принадлежит прямой $OB$, но не принадлежит отрезку $OB$. Найдите расстояние от точки $B$ до начала координат.

Уравнение сферы в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где точка $C(x_0, y_0, z_0)$ является центром сферы, а $R$ — её радиусом. Для данной сферы с уравнением $(x - 9)^2 + y^2 + (z + 12)^2 = 16$ находим, что её центр — это точка $C(9, 0, -12)$, а её радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Точка $O$ — это начало координат, то есть $O(0, 0, 0)$. Найдем расстояние от центра сферы $C$ до начала координат $O$ по формуле расстояния между двумя точками: $OC = \sqrt{(9-0)^2 + (0-0)^2 + (-12-0)^2} = \sqrt{81 + 0 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

По условию, точка $B$ принадлежит сфере, это означает, что расстояние от центра $C$ до точки $B$ равно радиусу сферы: $CB = R = 4$.

Также из условия известно, что центр сферы $C$ принадлежит прямой $OB$, но не принадлежит отрезку $OB$. Это означает, что точки $O$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой (коллинеарны), причём точка $C$ не находится между точками $O$ и $B$.

Так как точки $O$, $B$ и $C$ коллинеарны, а $C$ не лежит на отрезке $OB$, возможны два варианта их взаимного расположения на прямой:
1) Точка $B$ лежит между точками $O$ и $C$. В этом случае длина большего отрезка $OC$ равна сумме длин составляющих его отрезков: $OC = OB + BC$. Подставляя известные значения, получаем: $15 = OB + 4$. Отсюда находим искомое расстояние $OB = 15 - 4 = 11$.
2) Точка $O$ лежит между точками $B$ и $C$. В этом случае выполняется равенство: $BC = BO + OC$. Подставляя известные значения, получаем: $4 = BO + 15$. Отсюда $BO = 4 - 15 = -11$. Так как расстояние не может быть отрицательной величиной, этот вариант невозможен.

Таким образом, реализуется только первый случай, и расстояние от точки $B$ до начала координат равно 11.

Ответ: 11