Номер 183, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{S}{2}$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

183. Площадь большого круга шара равна $S$, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{S}{2}$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус сечения. Большой круг шара — это сечение, проходящее через его центр, поэтому его радиус равен радиусу шара $R$.

Площадь большого круга $S$ вычисляется по формуле площади круга: $S = \pi R^2$

Сечение шара плоскостью также является кругом. Пусть его радиус равен $r$. По условию, площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна $\frac{S}{2}$. Таким образом: $S_{сеч} = \pi r^2 = \frac{S}{2}$

Установим связь между радиусами $R$ и $r$, подставив выражение для $S$ из первой формулы во вторую: $\pi r^2 = \frac{\pi R^2}{2}$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим: $r^2 = \frac{R^2}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются искомое расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения и радиус сечения $r$, а гипотенузой — радиус шара $R$. По теореме Пифагора: $d^2 + r^2 = R^2$

Выразим из этого уравнения $d^2$: $d^2 = R^2 - r^2$

Подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $r^2 = \frac{R^2}{2}$: $d^2 = R^2 - \frac{R^2}{2} = \frac{R^2}{2}$

Ответ необходимо выразить через $S$. Для этого сначала выразим $R^2$ через $S$ из формулы площади большого круга: $R^2 = \frac{S}{\pi}$

Теперь подставим это выражение в формулу для $d^2$: $d^2 = \frac{R^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{\pi} = \frac{S}{2\pi}$

Следовательно, искомое расстояние $d$ равно квадратному корню из этого выражения: $d = \sqrt{\frac{S}{2\pi}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S}{2\pi}}$