Номер 190, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $D(-5; 4; 5)$.

190. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку $D(-5; 4; 5)$.

Уравнение сферы в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

По условию, сфера касается каждой из координатных плоскостей ($xy$, $xz$, $yz$). Координатные плоскости задаются уравнениями $z=0$, $y=0$ и $x=0$ соответственно. Расстояние от центра сферы $(x_0, y_0, z_0)$ до этих плоскостей равно $|z_0|$, $|y_0|$ и $|x_0|$. Поскольку сфера касается этих плоскостей, эти расстояния должны быть равны радиусу $R$. Таким образом, мы получаем условие: $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$.

Сфера проходит через точку $D(-5; 4; 5)$. Эта точка находится в октанте, где $x < 0$, $y > 0$, $z > 0$. Так как сфера касается координатных плоскостей, она не может их пересекать, а значит, её центр должен находиться в том же октанте, что и точка $D$. Следовательно, знаки координат центра должны быть такими же: $x_0 < 0$, $y_0 > 0$, $z_0 > 0$.

Учитывая, что $|x_0| = |y_0| = |z_0| = R$, получаем координаты центра: $x_0 = -R$, $y_0 = R$, $z_0 = R$. Таким образом, центр сферы имеет координаты $(-R, R, R)$.

Подставим координаты центра в общее уравнение сферы:$(x - (-R))^2 + (y - R)^2 + (z - R)^2 = R^2$$(x + R)^2 + (y - R)^2 + (z - R)^2 = R^2$

Теперь подставим координаты точки $D(-5; 4; 5)$ в это уравнение, так как точка $D$ принадлежит сфере:$(-5 + R)^2 + (4 - R)^2 + (5 - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $R$:$(25 - 10R + R^2) + (16 - 8R + R^2) + (25 - 10R + R^2) = R^2$$66 - 28R + 3R^2 = R^2$$2R^2 - 28R + 66 = 0$Разделим уравнение на 2:$R^2 - 14R + 33 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 14, а их произведение — 33. Корнями являются числа 3 и 11.$R_1 = 3$, $R_2 = 11$.

Мы получили два возможных значения для радиуса, что означает, что существуют две сферы, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Если $R = 3$, то центр сферы находится в точке $(-3, 3, 3)$, и уравнение сферы:$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 3^2$$(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$

2. Если $R = 11$, то центр сферы находится в точке $(-11, 11, 11)$, и уравнение сферы:$(x + 11)^2 + (y - 11)^2 + (z - 11)^2 = 11^2$$(x + 11)^2 + (y - 11)^2 + (z - 11)^2 = 121$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 9$ или $(x + 11)^2 + (y - 11)^2 + (z - 11)^2 = 121$.