Номер 192, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Радиус шара равен 5 см. Шар касается всех сторон квадрата со стороной 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата.

192. Радиус шара равен 5 см. Шар касается всех сторон квадрата со стороной 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости квадрата.

Пусть $O$ — центр шара, $R$ — его радиус, равный 5 см. Пусть квадрат лежит в плоскости $\alpha$ и имеет сторону $a = 6$ см. Нам нужно найти расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$.

Обозначим искомое расстояние как $h$. Это длина перпендикуляра $OP$, опущенного из центра шара $O$ на плоскость квадрата $\alpha$.

Поскольку шар касается всех сторон квадрата, из соображений симметрии следует, что проекция центра шара на плоскость квадрата совпадает с центром симметрии квадрата, то есть с точкой пересечения его диагоналей $P$. Таким образом, $OP \perp \alpha$ и $|OP| = h$.

Рассмотрим любую сторону квадрата, например, $AB$, и точку касания шара с этой стороной — точку $K$. Отрезок $OK$ соединяет центр шара с точкой касания, следовательно, $OK$ является радиусом шара, и $|OK| = R = 5$ см. Также радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OK \perp AB$.

Рассмотрим отрезки в плоскости квадрата. Отрезок $PK$ соединяет центр квадрата $P$ с точкой $K$ на стороне $AB$. Так как $P$ — центр квадрата, расстояние от него до любой стороны одинаково и равно половине длины стороны. Точка $K$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, длина отрезка $PK$ равна:
$|PK| = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OPK$. Так как $OP$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $PK$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $P$, то $OP \perp PK$. Это означает, что треугольник $\triangle OPK$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $P$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OPK$:
- Гипотенуза $OK$ равна радиусу шара: $|OK| = 5$ см.
- Катет $PK$ равен расстоянию от центра квадрата до его стороны: $|PK| = 3$ см.
- Катет $OP$ равен искомому расстоянию $h$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$|OK|^2 = |OP|^2 + |PK|^2$
$5^2 = h^2 + 3^2$
$25 = h^2 + 9$
$h^2 = 25 - 9$
$h^2 = 16$
$h = \sqrt{16} = 4$ см (так как расстояние не может быть отрицательным).

Ответ: 4 см.