Номер 199, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

199. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащим к нему углом $\alpha$. Высота призмы равна $H$. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Пусть $R$ — радиус шара, описанного около прямой призмы, $H$ — высота призмы, а $r_c$ — радиус окружности, описанной около основания призмы.

Для прямой призмы радиус описанного шара связан с высотой призмы и радиусом окружности, описанной около основания, следующей формулой:$R^2 = r_c^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

Найдем радиус $r_c$ окружности, описанной около основания. Основанием является равнобедренный треугольник с основанием $a$ и прилежащими к нему углами $\alpha$. Угол, противолежащий основанию $a$, равен $180^\circ - 2\alpha$.

По теореме синусов для треугольника в основании:$\frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} = 2r_c$

Так как $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$, получаем:$\frac{a}{\sin(2\alpha)} = 2r_c$

Отсюда выразим $r_c$:$r_c = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$

Теперь подставим найденное значение $r_c$ в формулу для радиуса описанного шара:$R^2 = \left(\frac{a}{2\sin(2\alpha)}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

$R^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(2\alpha)} + \frac{H^2}{4}$

$R^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2 \right)$

Извлекая квадратный корень, находим $R$:$R = \sqrt{\frac{1}{4} \left( \frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2 \right)} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2}$

Ответ: $R = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a^2}{\sin^2(2\alpha)} + H^2}$