Номер 201, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см, а боковое ребро — $5$ см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

201. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $4\sqrt{2}$ см, а боковое ребро – 5 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина. Сторона основания $a = AB = 4\sqrt{2}$ см, а боковое ребро $l = SA = 5$ см.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте. Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$. Окружность, описанная около этого треугольника, является большим кругом описанной сферы, а её радиус $R$ — искомым радиусом сферы.

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся формулой, связывающей радиус описанной сферы, боковое ребро $l$ и высоту пирамиды $H$: $R = \frac{l^2}{2H}$.

1. Найдем диагональ основания AC.
В основании лежит квадрат со стороной $a = 4\sqrt{2}$ см. Его диагональ $d$ равна $a\sqrt{2}$.
$d = AC = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$ см.

2. Найдем высоту пирамиды H.
Высота пирамиды $SO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата) является катетом в прямоугольном треугольнике $SOC$. Гипотенуза этого треугольника — боковое ребро $SC = l = 5$ см, а второй катет $OC$ равен половине диагонали $AC$.
$OC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
По теореме Пифагора $SO^2 + OC^2 = SC^2$ найдем высоту $H = SO$:
$H^2 + 4^2 = 5^2$
$H^2 + 16 = 25$
$H^2 = 25 - 16 = 9$
$H = \sqrt{9} = 3$ см.

3. Найдем радиус описанной сферы R.
Теперь, зная боковое ребро $l=5$ см и высоту $H=3$ см, можем вычислить радиус описанной сферы:
$R = \frac{l^2}{2H} = \frac{5^2}{2 \cdot 3} = \frac{25}{6}$ см.

Ответ: $\frac{25}{6}$ см.