Номер 204, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

204. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

204. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=6$ см и $BC=8$ см. Пусть $S$ – вершина пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Пусть $SO$ – высота пирамиды, опущенная на плоскость основания $(ABC)$. Тогда отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются проекциями боковых ребер $SA$, $SB$, $SC$ на плоскость основания. Углы между боковыми ребрами и плоскостью основания – это углы $\angle SAO$, $\angle SBO$, $\angle SCO$. Следовательно, $\angle SAO = \angle SBO = \angle SCO = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA$, $\triangle SOB$ и $\triangle SOC$ (прямые углы при вершине $O$). Они равны по катету ($SO$ – общий) и противолежащему острому углу ($30^\circ$). Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз ($SA=SB=SC$) и других катетов: $OA = OB = OC$.

Так как точка $O$ равноудалена от всех вершин основания $A$, $B$ и $C$, она является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$c = AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус описанной окружности $R_{осн}$ равен половине гипотенузы:

$R_{осн} = OA = OB = OC = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь найдем высоту пирамиды $H=SO$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:

$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = 5 \cdot \tan(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Центр шара (сферы), описанного около пирамиды, равноудален от всех ее вершин. Так как он равноудален от вершин основания $A$, $B$, $C$, он лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности $O$. Этот перпендикуляр – прямая, содержащая высоту $SO$.

Пусть $Q$ – центр описанного шара, а $d$ – искомое расстояние от точки $Q$ до плоскости основания. Тогда $d=QO$. Пусть $R_{ш}$ – радиус шара. Тогда $R_{ш} = QA = QS$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle QOA$ (угол $\angle QOA=90^\circ$) по теореме Пифагора имеем:

$QA^2 = QO^2 + OA^2 = d^2 + R_{осн}^2 = d^2 + 5^2$.

Точки $S$, $O$ и $Q$ лежат на одной прямой, поэтому расстояние $QS$ равно $|SO - QO|$ или $SO+QO$. Запишем это как $QS^2 = (H-d)^2$ (координатный метод показывает, что это общая формула, где $d$ может быть отрицательным, если $Q$ и $S$ лежат по разные стороны от основания).

Приравняем квадраты радиусов $QA^2 = QS^2$:

$d^2 + 5^2 = (H - d)^2$

$d^2 + 25 = H^2 - 2Hd + d^2$

$25 = H^2 - 2Hd$

$2Hd = H^2 - 25$

$d = \frac{H^2 - 25}{2H}$

Подставим значение высоты $H = \frac{5\sqrt{3}}{3}$:

$H^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{25 \cdot 3}{9} = \frac{25}{3}$.

$d = \frac{\frac{25}{3} - 25}{2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{25 - 75}{3}}{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = \frac{-\frac{50}{3}}{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = -\frac{50}{10\sqrt{3}} = -\frac{5}{\sqrt{3}} = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Знак "минус" указывает на то, что центр шара $Q$ и вершина пирамиды $S$ находятся по разные стороны от плоскости основания. Расстояние является длиной отрезка, поэтому оно положительно.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.