Номер 210, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

210. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна $a$, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $\alpha$.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Основанием является правильный треугольник со стороной $a$. Пусть SO – высота пирамиды, где O – центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот). Центр вписанного в пирамиду шара, обозначим его $O_с$, лежит на высоте SO. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от центра $O_с$ до любой грани пирамиды.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту SO и апофему боковой грани SM (где M – середина ребра основания BC). Это сечение – прямоугольный треугольник SOM, так как высота пирамиды перпендикулярна её основанию ($SO \perp$ плоскости ABC, а значит, и $SO \perp OM$).

Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре основания BC, так как $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$. По условию задачи, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $O_с$ равноудален от всех граней. В частности, он равноудален от плоскости основания ABC и от плоскости боковой грани SBC. В рассматриваемом сечении это означает, что точка $O_с$ равноудалена от прямых OM и SM, следовательно, она лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$. Таким образом, луч $MO_с$ является биссектрисой, и $\angle O_сMO = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_сOM$ ($\angle O_сOM = 90^\circ$). Катет $O_сO$ – это радиус вписанного шара $r$. Катет OM – это радиус окружности, вписанной в треугольник основания ABC. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\text{tg}(\angle O_сMO) = \frac{O_сO}{OM}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{OM}$

Отсюда выражаем радиус шара: $r = OM \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь вычислим длину OM. OM – это радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$. Его длина вычисляется по формуле:

$OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставим найденное значение OM в формулу для радиуса $r$:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.