Номер 189, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

189. К сфере радиуса 8 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку А на расстоянии 6 см от точки касания. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки сферы и расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы.

189. К сфере радиуса 8 см проведена касательная плоскость. На этой плоскости выбрали точку А на расстоянии 6 см от точки касания. Найдите расстояние от точки А до ближайшей к ней точки сферы и расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы.

Пусть $O$ — центр сферы, $R$ — её радиус, а $T$ — точка касания. Согласно условию задачи, радиус сферы $R = OT = 8$ см. Точка $A$ находится в касательной плоскости на расстоянии $AT = 6$ см от точки касания.

По свойству касательной плоскости, радиус, проведённый в точку касания ($OT$), перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, отрезок $OT$ перпендикулярен отрезку $AT$, который лежит в данной плоскости. Это означает, что треугольник $\triangle OTA$ является прямоугольным, где $\angle OTA = 90^\circ$.

Применим теорему Пифагора для нахождения расстояния от точки $A$ до центра сферы $O$, которое является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle OTA$: $OA^2 = OT^2 + AT^2$ $OA^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ $OA = \sqrt{100} = 10$ см.

Ближайшая к $A$ точка сферы и наиболее удалённая от неё точка лежат на прямой, проходящей через точку $A$ и центр сферы $O$.

расстояние от точки А до ближайшей к ней точки сферы

Чтобы найти расстояние до ближайшей точки на сфере, необходимо из расстояния от точки $A$ до центра сферы ($OA$) вычесть радиус сферы ($R$). $d_{min} = OA - R = 10 - 8 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

расстояние до наиболее удалённой от неё точки сферы

Чтобы найти расстояние до наиболее удалённой точки на сфере, необходимо к расстоянию от точки $A$ до центра сферы ($OA$) прибавить радиус сферы ($R$). $d_{max} = OA + R = 10 + 8 = 18$ см.

Ответ: 18 см.