Номер 185, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Вершины прямоугольного треугольника лежат на поверхности шара, радиус которого равен 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

185. Вершины прямоугольного треугольника лежат на поверхности шара, радиус которого равен 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

Пусть $R$ — радиус шара, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. По условию задачи, радиус шара $R = 6$ см.

Поскольку все три вершины треугольника лежат на поверхности шара, это означает, что плоскость, в которой находится треугольник, пересекает шар. Сечением шара плоскостью является окружность. Эта окружность является описанной около данного треугольника. Обозначим ее радиус как $r$.

Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиус сечения $r$ связаны между собой как стороны прямоугольного треугольника, где $R$ является гипотенузой, а $d$ и $r$ — катетами. Согласно теореме Пифагора, справедливо равенство: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для нахождения $d$ необходимо сначала определить радиус описанной окружности $r$. В условии сказано, что треугольник прямоугольный. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Длина гипотенузы по условию равна 4 см. Следовательно, радиус описанной окружности $r$ составляет: $r = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $d$, выразив его из теоремы Пифагора: $d = \sqrt{R^2 - r^2}$. Подставим известные значения $R=6$ см и $r=2$ см: $d = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32}$.

Упростим полученное значение: $d = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.