Страница 23 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $M (-3; 1; 4)$, центр сферы принадлежит оси ординат, а радиус сферы равен $\sqrt{29}$.

179. Составьте уравнение сферы, если она проходит через точку $M(-3; 1; 4)$, центр сферы принадлежит оси координат, а радиус сферы равен $\sqrt{29}$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ записывается в виде:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр сферы принадлежит оси ординат (оси OY). Это означает, что его абсцисса ($x_0$) и аппликата ($z_0$) равны нулю. Таким образом, координаты центра сферы можно записать как $C(0; y_0; 0)$.

Радиус сферы задан и равен $R = \sqrt{29}$. Следовательно, квадрат радиуса $R^2 = (\sqrt{29})^2 = 29$.

Подставив координаты центра и значение $R^2$ в общее уравнение, получаем уравнение для искомой сферы:
$(x - 0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - 0)^2 = 29$
$x^2 + (y - y_0)^2 + z^2 = 29$.

Нам известно, что сфера проходит через точку $M(-3; 1; 4)$. Это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению сферы. Подставим значения $x = -3$, $y = 1$ и $z = 4$ в полученное уравнение, чтобы найти значение $y_0$:
$(-3)^2 + (1 - y_0)^2 + 4^2 = 29$
$9 + (1 - y_0)^2 + 16 = 29$
$25 + (1 - y_0)^2 = 29$.

Теперь решим это уравнение относительно $y_0$:
$(1 - y_0)^2 = 29 - 25$
$(1 - y_0)^2 = 4$.
Это уравнение имеет два решения:
1) $1 - y_0 = 2 \implies y_0 = 1 - 2 = -1$
2) $1 - y_0 = -2 \implies y_0 = 1 + 2 = 3$.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют две сферы.

В первом случае центр сферы находится в точке $C_1(0; -1; 0)$, и уравнение сферы имеет вид:
$x^2 + (y - (-1))^2 + z^2 = 29$
$x^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$.

Во втором случае центр сферы находится в точке $C_2(0; 3; 0)$, и уравнение сферы имеет вид:
$x^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 29$.

Ответ: $x^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 29$ или $x^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 29$.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

180. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы; укажите координаты центра и радиус этой сферы.

Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы

Для доказательства необходимо привести данное уравнение к каноническому виду уравнения сферы: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ — это координаты центра сферы, а $R$ — её радиус.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные, и перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 6z) = 6$.

Теперь применим метод выделения полного квадрата для выражений в скобках. Для этого используем формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Для переменной $y$: $y^2 + 2y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$.

Для переменной $z$: $z^2 - 6z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2) - 3^2 = (z - 3)^2 - 9$.

Выражение для $x$ уже является полным квадратом: $x^2 = (x - 0)^2$.

Подставим полученные полные квадраты в преобразованное уравнение:

$(x - 0)^2 + ((y + 1)^2 - 1) + ((z - 3)^2 - 9) = 6$.

Перенесем числовые слагаемые из левой части в правую:

$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 6 + 1 + 9$.

$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$.

Полученное уравнение полностью соответствует каноническому виду уравнения сферы. Так как правая часть уравнения $R^2 = 16$ является положительным числом, это доказывает, что исходное уравнение является уравнением сферы.

Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 6z - 6 = 0$ является уравнением сферы, так как его можно привести к каноническому виду $x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$.

укажите координаты центра и радиус этой сферы

Координаты центра и радиус сферы определяются из её канонического уравнения $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$.

Сравним полученное нами уравнение $x^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16$ с каноническим видом:

$(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 3)^2 = 4^2$.

Отсюда находим параметры сферы:

Координаты центра $(a; b; c)$ равны $(0; -1; 3)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Координаты центра сферы: $(0; -1; 3)$, радиус сферы: $R = 4$.

181. Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 12 см. Длина линии пересечения сферы с этой плоскостью равна $10\pi$ см. Найдите радиус сферы.

181. Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 12 см. Длина линии пересечения сферы с этой плоскостью равна $10\pi$ см. Найдите радиус сферы.

Линия пересечения сферы с плоскостью представляет собой окружность. Длина этой окружности (обозначим её $L$) дана в условии и составляет $10\pi$ см. Мы можем использовать формулу длины окружности $L = 2\pi r$, чтобы найти радиус $r$ этой окружности.
$10\pi = 2\pi r$
$r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ см.

Таким образом, радиус окружности в сечении равен 5 см.

Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус сферы $R$ является гипотенузой, а радиус сечения $r$ и расстояние до плоскости $d$ — катетами. По условию, расстояние $d = 12$ см.

Применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $R^2 = d^2 + r^2$. Подставим известные значения, чтобы найти радиус сферы:
$R^2 = 12^2 + 5^2$
$R^2 = 144 + 25$
$R^2 = 169$
$R = \sqrt{169}$
$R = 13$ см.

Ответ: радиус сферы равен 13 см.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $30^{\circ}$. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см.

182. Через конец радиуса шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол $30^\circ$. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см.

Пусть $O$ - центр шара, а $OA$ - его радиус, равный $R=6$ см. Через точку $A$ (конец радиуса) проведена плоскость, которая пересекает шар. Сечением шара плоскостью является круг.

Обозначим центр этого круга-сечения как $C$, а его радиус как $r$. Площадь сечения $S$ можно найти по формуле площади круга: $S = \pi r^2$.

Рассмотрим треугольник $OСA$. Отрезок $OC$ является перпендикуляром, опущенным из центра шара на плоскость сечения, поэтому треугольник $OСA$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R = 6$ см, а катет $CA$ равен радиусу сечения $r$.

Угол между радиусом $OA$ и плоскостью сечения по определению равен углу между этим радиусом и его проекцией на эту плоскость. Проекцией радиуса $OA$ на плоскость сечения является отрезок $CA$. Следовательно, по условию задачи, угол $\angle OAC = 30^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $OСA$ найдем радиус сечения $r = CA$. Катет $CA$ является прилежащим к углу $\angle OAC$, поэтому он связан с гипотенузой $OA$ через косинус:
$r = CA = OA \cdot \cos(\angle OAC) = R \cdot \cos(30^\circ)$.

Подставим известные значения:
$r = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем площадь сечения (круга):
$S = \pi r^2 = \pi \cdot (3\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (9 \cdot 3) = 27\pi$ см$^2$.

Ответ: $27\pi$ см$^2$.

183. Площадь большого круга шара равна S, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{S}{2}$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

183. Площадь большого круга шара равна $S$, а площадь сечения шара плоскостью равна $\frac{S}{2}$. На каком расстоянии от центра шара проведено сечение?

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус сечения. Большой круг шара — это сечение, проходящее через его центр, поэтому его радиус равен радиусу шара $R$.

Площадь большого круга $S$ вычисляется по формуле площади круга: $S = \pi R^2$

Сечение шара плоскостью также является кругом. Пусть его радиус равен $r$. По условию, площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна $\frac{S}{2}$. Таким образом: $S_{сеч} = \pi r^2 = \frac{S}{2}$

Установим связь между радиусами $R$ и $r$, подставив выражение для $S$ из первой формулы во вторую: $\pi r^2 = \frac{\pi R^2}{2}$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим: $r^2 = \frac{R^2}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются искомое расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения и радиус сечения $r$, а гипотенузой — радиус шара $R$. По теореме Пифагора: $d^2 + r^2 = R^2$

Выразим из этого уравнения $d^2$: $d^2 = R^2 - r^2$

Подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $r^2 = \frac{R^2}{2}$: $d^2 = R^2 - \frac{R^2}{2} = \frac{R^2}{2}$

Ответ необходимо выразить через $S$. Для этого сначала выразим $R^2$ через $S$ из формулы площади большого круга: $R^2 = \frac{S}{\pi}$

Теперь подставим это выражение в формулу для $d^2$: $d^2 = \frac{R^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{\pi} = \frac{S}{2\pi}$

Следовательно, искомое расстояние $d$ равно квадратному корню из этого выражения: $d = \sqrt{\frac{S}{2\pi}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S}{2\pi}}$

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $2 : 3 : 5$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

184. Диаметр шара разделён двумя точками на три части в отношении $2 : 3 : 5$. Найдите отношение площадей сечений шара, проходящих через эти точки перпендикулярно данному диаметру.

Пусть радиус шара равен $R$, а его диаметр $D = 2R$. Для удобства расчётов поместим центр шара в начало координат $(0,0,0)$, а данный диаметр расположим на оси $Ox$. Таким образом, концы диаметра будут находиться в точках с координатами $(-R, 0, 0)$ и $(R, 0, 0)$.

Диаметр разделён двумя точками на три части в отношении $2:3:5$. Найдём длины этих частей. Сумма частей отношения равна $2+3+5=10$. Общая длина диаметра равна $2R$. Следовательно, длины сегментов будут:

• $l_1 = \frac{2}{10} \cdot (2R) = \frac{4R}{10} = \frac{2R}{5}$
• $l_2 = \frac{3}{10} \cdot (2R) = \frac{6R}{10} = \frac{3R}{5}$
• $l_3 = \frac{5}{10} \cdot (2R) = \frac{10R}{10} = R$

Проверим: $l_1 + l_2 + l_3 = \frac{2R}{5} + \frac{3R}{5} + R = \frac{5R}{5} + R = R + R = 2R$, что соответствует длине диаметра.

Теперь определим положение точек деления на диаметре. Пусть отсчёт ведётся от левого конца диаметра (точка с координатой $-R$). Координата первой точки деления, $P_1$, будет:

$x_1 = -R + l_1 = -R + \frac{2R}{5} = -\frac{3R}{5}$

Координата второй точки деления, $P_2$, будет:

$x_2 = x_1 + l_2 = -\frac{3R}{5} + \frac{3R}{5} = 0$

Таким образом, сечения проходят через точки диаметра, находящиеся на расстояниях $h_1 = |x_1| = \frac{3R}{5}$ и $h_2 = |x_2| = 0$ от центра шара.

Сечение шара плоскостью, перпендикулярной диаметру, является кругом. Радиус $r$ такого круга можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус шара $R$, а катетами — расстояние $h$ от центра шара до плоскости сечения и радиус сечения $r$. По теореме Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$, откуда $r^2 = R^2 - h^2$. Площадь сечения $S$ равна $S = \pi r^2$.

Вычислим площади двух сечений.

Площадь первого сечения $S_1$, находящегося на расстоянии $h_1 = \frac{3R}{5}$ от центра:

$S_1 = \pi (R^2 - h_1^2) = \pi \left(R^2 - \left(\frac{3R}{5}\right)^2\right) = \pi \left(R^2 - \frac{9R^2}{25}\right) = \pi \left(\frac{25R^2 - 9R^2}{25}\right) = \frac{16\pi R^2}{25}$

Площадь второго сечения $S_2$, находящегося на расстоянии $h_2 = 0$ от центра (это сечение проходит через центр шара и называется большим кругом):

$S_2 = \pi (R^2 - h_2^2) = \pi (R^2 - 0^2) = \pi R^2$

Найдём отношение площадей этих сечений, $S_1 : S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{16\pi R^2}{25}}{\pi R^2} = \frac{16}{25}$

Следовательно, искомое отношение площадей равно $16:25$.

Ответ: $16:25$

185. Вершины прямоугольного треугольника лежат на поверхности шара, радиус которого равен 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

185. Вершины прямоугольного треугольника лежат на поверхности шара, радиус которого равен 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

Пусть $R$ — радиус шара, а $d$ — искомое расстояние от центра шара до плоскости треугольника. По условию задачи, радиус шара $R = 6$ см.

Поскольку все три вершины треугольника лежат на поверхности шара, это означает, что плоскость, в которой находится треугольник, пересекает шар. Сечением шара плоскостью является окружность. Эта окружность является описанной около данного треугольника. Обозначим ее радиус как $r$.

Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиус сечения $r$ связаны между собой как стороны прямоугольного треугольника, где $R$ является гипотенузой, а $d$ и $r$ — катетами. Согласно теореме Пифагора, справедливо равенство: $R^2 = d^2 + r^2$.

Для нахождения $d$ необходимо сначала определить радиус описанной окружности $r$. В условии сказано, что треугольник прямоугольный. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Длина гипотенузы по условию равна 4 см. Следовательно, радиус описанной окружности $r$ составляет: $r = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $d$, выразив его из теоремы Пифагора: $d = \sqrt{R^2 - r^2}$. Подставим известные значения $R=6$ см и $r=2$ см: $d = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32}$.

Упростим полученное значение: $d = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

186. Вершины треугольника со стороной 16 см и противолежащим ей углом $150^\circ$ лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите радиус шара.

186. Вершины треугольника со стороной 16 см и противолежащим ей углом 150° лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите радиус шара.

Поскольку вершины треугольника лежат на поверхности шара, сам треугольник вписан в окружность, которая является сечением шара плоскостью этого треугольника. Радиус этой окружности, обозначим его $r$, является радиусом описанной около треугольника окружности.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:$2r = \frac{a}{\sin{\alpha}}$где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне.

По условию задачи, нам даны сторона $a = 16$ см и противолежащий ей угол $\alpha = 150^\circ$.Найдем радиус описанной окружности $r$:$r = \frac{a}{2 \sin{\alpha}} = \frac{16}{2 \sin{150^\circ}}$Так как $\sin{150^\circ} = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$, то:$r = \frac{16}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{16}{1} = 16$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения (описанной окружности) $r$ и расстояние от центра шара до плоскости треугольника $d$ связаны соотношением по теореме Пифагора. Они образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты.$R^2 = d^2 + r^2$

По условию, расстояние $d = 12$ см. Мы вычислили, что $r = 16$ см. Теперь можем найти радиус шара $R$:$R = \sqrt{d^2 + r^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.

187. Составьте уравнение сферы с центром в точке $A(-3; 7; -6)$, которая касается плоскости $xy$.

187. Составьте уравнение сферы с центром в точке $A (-3; 7; -6)$, которая касается плоскости $xy$.

Общее уравнение сферы с центром в точке $(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Из условия задачи известно, что центр сферы находится в точке $A(-3; 7; -6)$. Это значит, что координаты центра: $x_0 = -3$, $y_0 = 7$, $z_0 = -6$.

Сфера касается плоскости $xy$. Уравнение плоскости $xy$ — это $z = 0$. Радиус сферы, которая касается этой плоскости, равен расстоянию от ее центра до плоскости. Расстояние от точки $A(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $xy$ равно модулю ее аппликаты $z_0$.
Следовательно, радиус сферы $R$ равен:
$R = |z_0| = |-6| = 6$.

Теперь подставим координаты центра и значение радиуса в общее уравнение сферы:
$(x - (-3))^2 + (y - 7)^2 + (z - (-6))^2 = 6^2$
$(x + 3)^2 + (y - 7)^2 + (z + 6)^2 = 36$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 7)^2 + (z + 6)^2 = 36$