Страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 11 см и 21 см, а высота — 12 см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 11 см и 21 см, а высота — 12 см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 30°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, необходимо определить диаметр основания цилиндра и его высоту.

1. Нахождение диаметра основания цилиндра

Основанием цилиндра является окружность, описанная около основания призмы — равнобокой трапеции. Диаметр этой окружности и будет диаметром цилиндра. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=21$ см, $BC=11$ см и высотой $h=12$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного ее диагональю и двумя сторонами (например, $\triangle ACD$). Найдем длину диагонали $AC$ и боковой стороны $CD$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$ вычисляется как полуразность оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 11}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $CD$:

$CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Отрезок $AH$ равен $AD - HD = 21 - 5 = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. По теореме Пифагора найдем диагональ $AC$:

$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $\triangle ACD$ со сторонами $AC=20$ см, $CD=13$ см, $AD=21$ см. Сначала найдем площадь этого треугольника:

$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 12 = 126$ см$^2$.

Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$R = \frac{AC \cdot CD \cdot AD}{4 \cdot S_{\triangle ACD}} = \frac{20 \cdot 13 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6}$ см.

Тогда диаметр основания цилиндра $D$ равен:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{65}{6} = \frac{65}{3}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра

Высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{пр}$. Диагональ призмы, ее проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания) и высота призмы образуют прямоугольный треугольник. В нашем случае это треугольник с катетами $H_{пр}$ и $AC$, и гипотенузой — диагональю призмы.

Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $30^\circ$. Из этого прямоугольного треугольника имеем:

$\tan(30^\circ) = \frac{H_{пр}}{AC}$

$H_{пр} = AC \cdot \tan(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

Следовательно, высота цилиндра $H_{цил} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Нахождение площади осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H_{цил}$. Его площадь $S_{сеч}$ равна:

$S_{сеч} = D \cdot H_{цил} = \frac{65}{3} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{1300\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1300\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра ($2R$) и его высоте ($H$). По условию, площадь этого сечения равна $S$.

Таким образом, имеем соотношение:$S = 2R \cdot H$

Правильная треугольная призма вписана в этот цилиндр. Это означает, что основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра, а высота призмы совпадает с высотой цилиндра $H$.

Обозначим сторону равностороннего треугольника в основании призмы как $a$. Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) находится как произведение периметра ее основания ($P$) на высоту ($H$).

Периметр основания призмы: $P = 3a$.

Следовательно, площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P \cdot H = 3aH$

Теперь необходимо связать параметры призмы и цилиндра. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону треугольника $a$ через радиус $R$:$a = R\sqrt{3}$

Подставим это выражение для $a$ в формулу площади боковой поверхности призмы:$S_{бок} = 3 \cdot (R\sqrt{3}) \cdot H = 3\sqrt{3}RH$

Из самого первого уравнения ($S = 2RH$) выразим произведение $RH$:$RH = \frac{S}{2}$

Подставим полученное выражение для $RH$ в формулу для площади боковой поверхности призмы, чтобы выразить ее через заданную площадь $S$:$S_{бок} = 3\sqrt{3} \cdot \left(\frac{S}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}S}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}S}{2}$

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

121. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр, радиус основания которого равен $r$, а угол между диагональю осевого сечения цилиндра и образующей равен $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем периметр основания призмы.

Поскольку призма правильная треугольная и вокруг нее описан цилиндр, ее основание (правильный треугольник) вписано в окружность основания цилиндра. Радиус этой окружности по условию равен $r$.

Сторона $a$ правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, связана с радиусом соотношением: $a = R\sqrt{3}$.

В нашем случае $R=r$, поэтому сторона основания призмы равна $a = r\sqrt{3}$.

Периметр основания призмы (правильного треугольника) равен: $P_{осн} = 3a = 3r\sqrt{3}$.

2. Найдем высоту призмы.

Высота призмы $H$ совпадает с высотой (образующей) описанного цилиндра. Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра $D = 2r$, а другая — его высоте $H$.

Угол $\beta$ — это угол между диагональю этого прямоугольника и его стороной, равной высоте $H$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и диаметром основания, тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета (диаметра $D$) к прилежащему катетету (высоте $H$):

$\tan(\beta) = \frac{D}{H} = \frac{2r}{H}$

Отсюда выразим высоту призмы:

$H = \frac{2r}{\tan(\beta)} = 2r \cot(\beta)$

3. Найдем площадь боковой поверхности призмы.

Подставим найденные значения периметра основания и высоты в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (3r\sqrt{3}) \cdot (2r \cot(\beta)) = 6\sqrt{3}r^2 \cot(\beta)$

Ответ: $6\sqrt{3}r^2 \cot(\beta)$

122. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $2 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности призмы равна $96 \text{ см}^2$.

Найдите высоту цилиндра.

122. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен $2\text{ см}$. Площадь боковой поверхности призмы равна $96\text{ см}^2$. Найдите высоту цилиндра.

Поскольку правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, ее основанием является квадрат, а высота призмы равна высоте цилиндра. Обозначим искомую высоту как $h$.

Так как основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (квадрат), то сторона квадрата $a$ равна диаметру $d$ вписанной окружности. По условию, радиус основания цилиндра $r = 2$ см. Найдем диаметр:

$d = 2r = 2 \times 2 = 4$ см.

Следовательно, сторона квадратного основания призмы равна $a = 4$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \times h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы. Вычислим периметр основания:

$P_{осн} = 4a = 4 \times 4 = 16$ см.

По условию, площадь боковой поверхности призмы $S_{бок} = 96$ см². Теперь мы можем найти высоту призмы $h$, которая равна высоте цилиндра:

$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}}$

$h = \frac{96}{16} = 6$ см.

Высота цилиндра равна высоте призмы.

Ответ: 6 см.

123. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а около него описана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

123. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а около него описана правильная шестиугольная призма. Найдите отношение площадей боковых поверхностей этих призм.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота — $H$. Высоты обеих призм, вписанной и описанной, равны высоте цилиндра $H$. Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется как произведение периметра основания на высоту.

Для вписанной правильной треугольной призмы её основание — это правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Сторона такого треугольника $a_3$ связана с радиусом описанной окружности соотношением $a_3 = R\sqrt{3}$. Периметр основания $P_3 = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$. Тогда площадь её боковой поверхности $S_{впис} = 3R\sqrt{3}H$.

Для описанной правильной шестиугольной призмы её основание — это правильный шестиугольник, описанный около окружности радиуса $R$. Радиус вписанной окружности $R$ (апофема) связан со стороной шестиугольника $a_6$ соотношением $R = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$. Отсюда сторона шестиугольника $a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$. Периметр основания $P_6 = 6a_6 = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}R$. Тогда площадь её боковой поверхности $S_{опис} = 4\sqrt{3}RH$.

Найдём отношение площадей боковых поверхностей вписанной призмы к описанной:$$ \frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{3R\sqrt{3}H}{4\sqrt{3}RH} = \frac{3}{4} $$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание и боковая сторона которой равны соответственно 9 см и 17 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{595}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

124. Основанием призмы является равнобокая трапеция, меньшее основание и боковая сторона которой равны соответственно 9 см и 17 см. Диагональ призмы равна $\sqrt{595}$ см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Для решения задачи необходимо последовательно найти параметры основания призмы, затем высоту самой призмы и, наконец, используя эти данные, вычислить площадь боковой поверхности вписанного цилиндра.

1. Нахождение параметров основания призмы (равнобокой трапеции) и радиуса основания цилиндра

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, $BC = b = 9$ см, $AB = CD = c = 17$ см.

Так как в призму вписан цилиндр, это означает, что в ее основание (трапецию) можно вписать окружность. Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает:$AD + BC = AB + CD$$a + b = 2c$Подставив известные значения, найдем большее основание $a$:$a + 9 = 2 \cdot 17 = 34$$a = 34 - 9 = 25$ см.

Далее найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, вычисляется как полуразность оснований:$AH = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h_{тр} = BH$:$h_{тр}^2 = c^2 - AH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$h_{тр} = \sqrt{225} = 15$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. Основание вписанного цилиндра является этой окружностью. Следовательно, радиус основания цилиндра $r$ равен половине высоты трапеции:$r = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Квадрат диагонали прямой призмы ($D_{пр}$) равен сумме квадрата ее высоты ($H_{пр}$) и квадрата диагонали ее основания ($d_{осн}$): $D_{пр}^2 = H_{пр}^2 + d_{осн}^2$.По условию, диагональ призмы $D_{пр} = \sqrt{595}$ см, отсюда $D_{пр}^2 = 595$.

Найдем квадрат диагонали основания $d_{осн}^2$. Рассмотрим диагональ трапеции $AC$. Ее можно найти из прямоугольного треугольника $ACF$, где $CF$ — высота трапеции ($h_{тр} = 15$ см), а катет $AF$ равен:$AF = AD - FD = a - AH = 25 - 8 = 17$ см.По теореме Пифагора:$d_{осн}^2 = AC^2 = AF^2 + CF^2 = 17^2 + 15^2 = 289 + 225 = 514$.

Теперь мы можем найти высоту призмы $H_{пр}$:$H_{пр}^2 = D_{пр}^2 - d_{осн}^2 = 595 - 514 = 81$$H_{пр} = \sqrt{81} = 9$ см.Высота вписанного цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы, следовательно, $H_{цил} = 9$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:$S_{бок} = 2 \pi r H_{цил}$Подставим найденные значения радиуса $r = 7.5$ см и высоты $H_{цил} = 9$ см:$S_{бок} = 2 \pi \cdot 7.5 \cdot 9 = 15 \pi \cdot 9 = 135\pi$ см$^2$.

Ответ: $135\pi$ см$^2$.

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь осевого сечения вписанного цилиндра $S$ равна произведению его диаметра $D_{ц}$ на высоту $H_{ц}$.

$S = D_{ц} \cdot H_{ц}$

Поскольку цилиндр вписан в прямую призму, его высота $H_{ц}$ равна высоте призмы $H$, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

1. Найдем диаметр основания цилиндра $D_{ц}$.

Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба $h_{р}$. Пусть сторона ромба равна $a$. Площадь ромба можно выразить двумя способами: $S_{р} = a^2 \sin(\alpha)$ и $S_{р} = a \cdot h_{р}$. Отсюда $h_{р} = a \sin(\alpha)$.
Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Углы этих треугольников равны $\frac{\alpha}{2}$, $90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$ и $90^{\circ}$. Катеты равны половинам диагоналей. Большая диагональ ромба $d$ лежит против тупого угла $180^{\circ} - \alpha$. В прямоугольном треугольнике катет, равный половине большой диагонали $\frac{d}{2}$, прилежит к углу $\frac{\alpha}{2}$. Тогда:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d/2}{a} \implies a = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь найдем высоту ромба $h_{р}$:

$h_{р} = a \sin(\alpha) = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \sin(\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$h_{р} = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Следовательно, диаметр цилиндра:

$D_{ц} = h_{р} = d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

2. Найдем высоту призмы $H$.

Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией меньшей диагонали призмы на плоскость основания является меньшая диагональ ромба $d_{м}$. Высота призмы $H$, меньшая диагональ ромба $d_{м}$ и меньшая диагональ призмы образуют прямоугольный треугольник, в котором $H$ и $d_{м}$ — катеты, а угол $\beta$ лежит против катета $H$.

Отсюда: $\tan(\beta) = \frac{H}{d_{м}} \implies H = d_{м} \tan(\beta)$

Найдем меньшую диагональ ромба $d_{м}$. В том же прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали ранее, катет, равный половине меньшей диагонали $\frac{d_{м}}{2}$, лежит против угла $\frac{\alpha}{2}$.

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d_{м}/2}{d/2} = \frac{d_{м}}{d} \implies d_{м} = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь можем найти высоту призмы (и цилиндра):

$H = H_{ц} = d_{м} \tan(\beta) = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

3. Найдем площадь осевого сечения цилиндра.

$S = D_{ц} \cdot H_{ц} = \left(d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right)$

$S = d^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

Так как $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, можем переписать формулу:

$S = d^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta) = d^2 \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta)$

Ответ: $d^2 \tan(\beta) \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

126. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около этого цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания ($2r$) и высоте цилиндра ($h$). Площадь этого сечения по условию равна $S$. Таким образом, мы имеем соотношение:$S = 2r \cdot h$.

Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра $h$, а основание призмы (правильный шестиугольник) описано вокруг основания цилиндра (окружности радиуса $r$).

Рассмотрим вид сверху: окружность радиуса $r$ вписана в правильный шестиугольник. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности (который является апофемой шестиугольника) связан с его стороной $a$ следующей формулой:$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Из этой формулы выразим сторону шестиугольника $a$ через радиус $r$:$a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{\text{бок}}$) вычисляется как произведение периметра её основания ($P_{\text{осн}}$) на высоту ($h$):$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$.

Периметр основания (правильного шестиугольника) равен $P_{\text{осн}} = 6a$. Подставим выражение для $a$:$P_{\text{осн}} = 6 \cdot \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{12r}{\sqrt{3}}$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:$S_{\text{бок}} = \left(\frac{12r}{\sqrt{3}}\right) \cdot h = \frac{12rh}{\sqrt{3}}$.

Мы знаем, что $2rh = S$. Преобразуем выражение для $S_{\text{бок}}$, чтобы использовать это соотношение:$S_{\text{бок}} = \frac{6 \cdot (2rh)}{\sqrt{3}} = \frac{6S}{\sqrt{3}}$.

Чтобы упростить ответ, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$S_{\text{бок}} = \frac{6S}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}S}{3} = 2\sqrt{3}S$.

Ответ: $2\sqrt{3}S$.

127. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, высота которого равна $H$, а радиус основания — $R$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается боковой поверхности призмы.

127. В правильную треугольную призму вписан цилиндр, высота которого равна $H$, а радиус основания — $R$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через две его образующие, по которым боковая поверхность цилиндра касается боковой поверхности призмы.

По условию задачи, цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Это означает, что основания цилиндра (окружности радиуса $R$) вписаны в основания призмы (правильные треугольники), а высота цилиндра $H$ равна высоте призмы. Боковая поверхность цилиндра касается трех боковых граней призмы по трем образующим.

Секущая плоскость проходит через две из этих трех образующих. Поскольку все образующие цилиндра параллельны между собой, данное сечение является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — расстоянию между двумя образующими, через которые проходит плоскость.

Чтобы найти расстояние между образующими, рассмотрим основание призмы и цилиндра в проекции на горизонтальную плоскость. Мы увидим правильный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$. Точки, в которых окружность касается сторон треугольника, являются основаниями искомых образующих. Обозначим центр окружности как $O$, а две точки касания как $K$ и $L$. Расстояние между образующими будет равно длине хорды $KL$.

Отрезки $OK$ и $OL$ — это радиусы, проведенные в точки касания, поэтому их длина равна $R$, и они перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Угол правильного треугольника между сторонами, которых касаются радиусы $OK$ и $OL$, равен $60^\circ$. Рассмотрим четырехугольник, образованный центром окружности $O$, вершиной треугольника и точками касания $K$ и $L$. Сумма углов в этом четырехугольнике равна $360^\circ$. Два угла при точках касания прямые ($90^\circ$), а угол при вершине треугольника равен $60^\circ$. Отсюда можно найти центральный угол $\angle KOL$, который стягивает хорду $KL$:

$\angle KOL = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $KOL$, в котором $OK = OL = R$ и угол между этими сторонами $\angle KOL = 120^\circ$. Длину хорды $KL$ можно найти по теореме косинусов:

$KL^2 = OK^2 + OL^2 - 2 \cdot OK \cdot OL \cdot \cos(\angle KOL)$

$KL^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$

Отсюда длина хорды $KL = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$.

Это и есть ширина искомого прямоугольного сечения. Площадь сечения $S$ равна произведению его сторон (высоты $H$ и ширины $KL$):

$S = H \cdot KL = H \cdot R\sqrt{3}$

Ответ: $RH\sqrt{3}$.