Номер 120, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

120. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания цилиндра ($2R$) и его высоте ($H$). По условию, площадь этого сечения равна $S$.

Таким образом, имеем соотношение:$S = 2R \cdot H$

Правильная треугольная призма вписана в этот цилиндр. Это означает, что основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра, а высота призмы совпадает с высотой цилиндра $H$.

Обозначим сторону равностороннего треугольника в основании призмы как $a$. Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) находится как произведение периметра ее основания ($P$) на высоту ($H$).

Периметр основания призмы: $P = 3a$.

Следовательно, площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P \cdot H = 3aH$

Теперь необходимо связать параметры призмы и цилиндра. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону треугольника $a$ через радиус $R$:$a = R\sqrt{3}$

Подставим это выражение для $a$ в формулу площади боковой поверхности призмы:$S_{бок} = 3 \cdot (R\sqrt{3}) \cdot H = 3\sqrt{3}RH$

Из самого первого уравнения ($S = 2RH$) выразим произведение $RH$:$RH = \frac{S}{2}$

Подставим полученное выражение для $RH$ в формулу для площади боковой поверхности призмы, чтобы выразить ее через заданную площадь $S$:$S_{бок} = 3\sqrt{3} \cdot \left(\frac{S}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}S}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}S}{2}$