Номер 118, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно $a$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно $a$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Поскольку цилиндр описан около призмы, то основания призмы вписаны в основания цилиндра, а высота цилиндра равна высоте призмы. Для того чтобы понятие описанного цилиндра было определено однозначно, будем считать, что призма является прямой. В этом случае её боковые грани — прямоугольники.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Сначала найдём высоту призмы $H$. Основанием призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно $a$. Боковая грань призмы, содержащая эту сторону, является прямоугольником со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этого прямоугольника образует с плоскостью основания призмы (то есть со стороной $a$) угол $\beta$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой призмы $H$ и стороной основания $a$, имеем:

$\tan(\beta) = \frac{H}{a}$

Отсюда высота призмы и цилиндра равна:

$H = a \tan(\beta)$

Теперь найдём радиус основания цилиндра $R$. Он равен радиусу окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании призмы. В данном равнобедренном треугольнике сторона, противолежащая углу при вершине, равна $a$, а углы при этой стороне равны $\alpha$. Угол при вершине, противолежащий стороне $a$, равен $180^\circ - 2\alpha$.

Согласно следствию из теоремы синусов, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной треугольника и противолежащим ей углом соотношением:

$2R = \frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$2R = \frac{a}{\sin(2\alpha)}$

Отсюда радиус основания цилиндра:

$R = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности цилиндра, подставив найденные значения $R$ и $H$ в исходную формулу:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2\pi \cdot \left(\frac{a}{2\sin(2\alpha)}\right) \cdot (a \tan(\beta))$

После упрощения получаем окончательное выражение:

$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin(2\alpha)}$.