Номер 112, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину этой хорды, образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину этой хорды, образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одной его стороной является хорда $AB$ в основании цилиндра, а другой — высота цилиндра $H$. Площадь этого сечения равна $S$, следовательно, $S = AB \cdot H$.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания. Хорда $AB$ видна из центра под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как $OA = OB = R$. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM$ является высотой, медианой и биссектрисой треугольника $AOB$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$ имеем:

$\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$

Длина половины хорды $AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) = R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Тогда длина всей хорды $AB = 2 \cdot AM = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим это выражение в формулу площади сечения:

$S = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot H$ (1)

Теперь рассмотрим отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O_1$ и середину хорды $M$. Этот отрезок $O_1M$ образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Проекцией отрезка $O_1M$ на плоскость нижнего основания является отрезок $OM$. Следовательно, угол между $O_1M$ и плоскостью основания — это $\angle O_1MO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1OM$. Катет $O_1O$ равен высоте цилиндра $H$. Катет $OM$ найдем из треугольника $AOM$:

$OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

В треугольнике $O_1OM$ тангенс угла $\gamma$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\gamma) = \frac{O_1O}{OM} = \frac{H}{R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Отсюда выразим $H$:

$H = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $R$ и $H$. Решим эту систему.

Найдите высоту цилиндра

Из уравнения (2) выразим $R$: $R = \frac{H}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)}$.

Подставим это выражение для $R$ в уравнение (1):

$S = 2 \left( \frac{H}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)} \right) H \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$S = \frac{2H^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)} = \frac{2H^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\tan(\gamma)}$

Выразим $H^2$:

$H^2 = \frac{S \tan(\gamma)}{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{S}{2} \tan(\gamma) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{S}{2} \tan(\gamma) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $H = \sqrt{\frac{S}{2} \tan(\gamma) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Найдите радиус его основания

Подставим выражение для $H$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$S = 2R \left( R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma) \right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$S = 2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$

Используем формулу синуса двойного угла: $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$. В нашем случае $2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sin(\alpha)$.

$S = R^2 \sin(\alpha) \tan(\gamma)$

Выразим $R^2$:

$R^2 = \frac{S}{\sin(\alpha) \tan(\gamma)}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{S}{\sin(\alpha) \tan(\gamma)}}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{\sin(\alpha) \tan(\gamma)}}$