Номер 108, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Высота цилиндра равна 5 см. На расстоянии 4 см от его оси проведено сечение, перпендикулярное основаниям цилиндра. Найдите радиус основания, если диагональ сечения равна 13 см.

108. Высота цилиндра равна 5 см. На расстоянии 4 см от его оси проведено сечение, перпендикулярное основаниям цилиндра. Найдите радиус основания, если диагональ сечения равна 13 см.

Обозначим высоту цилиндра как $h$, радиус основания как $R$, расстояние от оси до сечения как $d$, и диагональ сечения как $D$. Из условия задачи имеем:

• Высота цилиндра $h = 5$ см.
• Расстояние от оси до сечения $d = 4$ см.
• Диагональ сечения $D = 13$ см.

Сечение, проведенное перпендикулярно основаниям, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона (обозначим ее $w$) является хордой в круге, лежащем в основании цилиндра.

Диагональ этого прямоугольника $D$, его стороны $h$ и $w$ связаны соотношением теоремы Пифагора: $D^2 = h^2 + w^2$

Подставим известные значения, чтобы найти длину хорды $w$: $13^2 = 5^2 + w^2$ $169 = 25 + w^2$ $w^2 = 169 - 25$ $w^2 = 144$ $w = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим вид сверху на основание цилиндра. Мы видим круг с центром O (точка пересечения с осью цилиндра). В этом круге проведена хорда $w = 12$ см. Расстояние от центра круга O до этой хорды равно $d = 4$ см.

Радиус основания $R$, расстояние до хорды $d$ и половина хорды $\frac{w}{2}$ образуют прямоугольный треугольник, где радиус $R$ является гипотенузой. Катеты этого треугольника равны $d$ и $\frac{w}{2}$.

Вычислим половину длины хорды: $\frac{w}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Снова применим теорему Пифагора, чтобы найти радиус $R$: $R^2 = d^2 + (\frac{w}{2})^2$ $R^2 = 4^2 + 6^2$ $R^2 = 16 + 36$ $R^2 = 52$ $R = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.