Номер 101, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту цилиндра и площадь его основания.

101. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту цилиндра и площадь его основания.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ и диаметр его основания $d$. Диагональ этого прямоугольника $D$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $h$ и диаметр $d$.

По условию задачи, диагональ осевого сечения $D = 8$ см. Угол, который диагональ образует с плоскостью основания, — это угол между диагональю $D$ и диаметром основания $d$. Этот угол равен $30°$.

высоту цилиндра

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, диаметром $d$ и диагональю $D$, высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $30°$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Следовательно, мы можем найти высоту $h$:

$h = D \cdot \sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 4 см.

площадь его основания

Чтобы найти площадь основания, сначала необходимо вычислить его радиус $r$. Радиус равен половине диаметра $d$. Диаметр $d$ является вторым катетом в рассматриваемом прямоугольном треугольнике, он прилежит к углу в $30°$.

Найдем диаметр $d$, используя косинус угла $30°$:

$d = D \cdot \cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус основания $r$:

$r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь основания цилиндра (площадь круга) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим значение радиуса:

$S_{осн} = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (4 \cdot 3) = 12\pi$ см².

Ответ: площадь основания цилиндра равна $12\pi$ см².