Номер 94, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Точки $A(-4; -2; 3)$ и $A_1(-6; 4; 3)$ симметричны относительно плоскости $\alpha$. Составьте уравнение этой плоскости.

94. Точки $A(-4; -2; 3)$ и $A_1(-6; 4; 3)$ симметричны относительно плоскости $\alpha$. Составьте уравнение этой плоскости.

Плоскость $\alpha$, относительно которой симметричны точки A и A₁, является плоскостью, которая перпендикулярна отрезку AA₁ и проходит через его середину.

1. Найдём вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$.
Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку AA₁, то вектор $\vec{AA_1}$ является вектором нормали к этой плоскости.
Координаты точек: $A(-4; -2; 3)$ и $A_1(-6; 4; 3)$.
Находим координаты вектора $\vec{AA_1}$:
$\vec{n} = \vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (-6 - (-4); 4 - (-2); 3 - 3) = (-2; 6; 0)$.
Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $(A; B; C)$ — координаты вектора нормали.
Следовательно, уравнение плоскости можно записать как $-2x + 6y + 0z + D = 0$ или $-2x + 6y + D = 0$.

2. Найдём точку M, которая лежит на плоскости $\alpha$.
Такой точкой является середина отрезка AA₁. Найдём её координаты:
$x_M = \frac{x_A + x_{A_1}}{2} = \frac{-4 + (-6)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$y_M = \frac{y_A + y_{A_1}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_M = \frac{z_A + z_{A_1}}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(-5; 1; 3)$.

3. Составим уравнение плоскости.
Поскольку точка $M(-5; 1; 3)$ принадлежит плоскости $\alpha$, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Подставим их в уравнение $-2x + 6y + D = 0$, чтобы найти коэффициент D:
$-2(-5) + 6(1) + D = 0$
$10 + 6 + D = 0$
$16 + D = 0$
$D = -16$

Итоговое уравнение плоскости: $-2x + 6y - 16 = 0$.
Для упрощения можно разделить все члены уравнения на -2:
$x - 3y + 8 = 0$.

Ответ: $x - 3y + 8 = 0$