Номер 99, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Найдите уравнение образа плоскости $2x - y - z + 2 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (4; -3; 2)$;

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 2$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $2x - y - z + 2 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (4; -3; 2);

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 2$.

Пусть исходная плоскость $\pi$ задана уравнением $2x - y - z + 2 = 0$. Чтобы найти уравнение образа плоскости, мы выразим старые координаты $(x, y, z)$ через новые $(x', y', z')$ и подставим их в исходное уравнение.

1) при симметрии относительно начала координат

При симметрии точки $M(x, y, z)$ относительно начала координат ее образом является точка $M'(x', y', z')$, координаты которой связаны следующими соотношениями:
$x' = -x$
$y' = -y$
$z' = -z$
Выразим старые координаты через новые:
$x = -x'$
$y = -y'$
$z = -z'$
Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:
$2(-x') - (-y') - (-z') + 2 = 0$
$-2x' + y' + z' + 2 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на $-1$:
$2x' - y' - z' - 2 = 0$
Заменив $x', y', z'$ на $x, y, z$, получим уравнение образа плоскости.

Ответ: $2x - y - z - 2 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (4; -3; 2)

При параллельном переносе точки $M(x, y, z)$ на вектор $\vec{a}(4, -3, 2)$ ее образом является точка $M'(x', y', z')$, координаты которой вычисляются по формулам:
$x' = x + 4$
$y' = y - 3$
$z' = z + 2$
Выразим старые координаты через новые:
$x = x' - 4$
$y = y' + 3$
$z = z' - 2$
Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:
$2(x' - 4) - (y' + 3) - (z' - 2) + 2 = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x' - 8 - y' - 3 - z' + 2 + 2 = 0$
$2x' - y' - z' - 7 = 0$
Заменив $x', y', z'$ на $x, y, z$, получим искомое уравнение.

Ответ: $2x - y - z - 7 = 0$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k = 2

При гомотетии точки $M(x, y, z)$ с центром в начале координат и коэффициентом $k=2$ ее образом является точка $M'(x', y', z')$, координаты которой связаны соотношениями:
$x' = kx = 2x$
$y' = ky = 2y$
$z' = kz = 2z$
Выразим старые координаты через новые:
$x = \frac{x'}{2}$
$y = \frac{y'}{2}$
$z = \frac{z'}{2}$
Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:
$2\left(\frac{x'}{2}\right) - \left(\frac{y'}{2}\right) - \left(\frac{z'}{2}\right) + 2 = 0$
$x' - \frac{y'}{2} - \frac{z'}{2} + 2 = 0$
Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2x' - y' - z' + 4 = 0$
Заменив $x', y', z'$ на $x, y, z$, получим искомое уравнение.

Ответ: $2x - y - z + 4 = 0$