Номер 96, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $2x - y + 4z - 20 = 0$ и $3x - 14y - 5z + 32 = 0$;

2) $x + y - 2z + 3 = 0$ и $2x - y - 2z - 7 = 0$.

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $2x - y + 4z - 20 = 0$ и $3x - 14y - 5z + 32 = 0;$

2) $x + y - 2z + 3 = 0$ и $2x - y - 2z - 7 = 0.$

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Для плоскостей, заданных уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, их нормальные векторы имеют координаты $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$.

Косинус угла $\phi$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Найдем нормальные векторы к данным плоскостям.

Для первой плоскости $2x - y + 4z - 20 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, -1, 4)$.

Для второй плоскости $3x - 14y - 5z + 32 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, -14, -5)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-14) + 4 \cdot (-5) = 6 + 14 - 20 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, и плоскости перпендикулярны.

Угол между плоскостями равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $90^\circ$.

Найдем нормальные векторы к данным плоскостям.

Для первой плоскости $x + y - 2z + 3 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, -2)$.

Для второй плоскости $2x - y - 2z - 7 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (2, -1, -2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = 2 - 1 + 4 = 5$.

Найдем длины (модули) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между плоскостями:

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|5|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{5}{3\sqrt{6}}$.

Угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:

$\phi = \arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{6}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{6}}\right)$.