Номер 106, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $90^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с осью цилиндра угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно 4 см.

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $90^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с осью цилиндра угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно 4 см.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ используется формула $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Нам нужно найти $R$ и $H$ из условий задачи.

1. Нахождение радиуса основания $R$.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания, а $AB$ — хорда, которая видна из центра под углом $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы). Поскольку угол при вершине равен $90^\circ$, $\triangle AOB$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.

Расстояние от центра основания до хорды — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из точки $O$ на хорду $AB$. По условию, $OM = 4$ см. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ высота $OM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $OM$ делит угол $\angle AOB$ пополам, то есть $\angle AOM = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$ (где $\angle OMA = 90^\circ$). Мы знаем катет $OM = 4$ см и угол $\angle AOM = 45^\circ$. Гипотенуза $OA$ является радиусом $R$. Найдем $R$ из этого треугольника:

$\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA}$

$R = OA = \frac{OM}{\cos(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра $H$.

Пусть $O'$ — центр верхнего основания. Ось цилиндра — это отрезок $OO'$, его длина равна высоте $H$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O'$ с концом хорды (например, с точкой $A$), образует с осью цилиндра $OO'$ угол $60^\circ$. То есть, $\angle AO'O = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O'OA$. Ось $OO'$ перпендикулярна плоскости основания, а радиус $OA$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $OO' \perp OA$, и треугольник $\triangle O'OA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle O'OA = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике мы знаем катет $OA = R = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle AO'O = 60^\circ$. Катет $OO'$ является высотой цилиндра $H$. Найдем $H$:

$\tan(\angle AO'O) = \frac{OA}{OO'}$

$H = OO' = \frac{OA}{\tan(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь, зная радиус $R = 4\sqrt{2}$ см и высоту $H = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{32\pi\sqrt{12}}{3}$.

Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$S_{бок} = \frac{32\pi \cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.