Номер 110, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Через точку, делящую радиус основания цилиндра в отношении 3 : 2, считая от центра основания, проведено сечение цилиндра, параллельное его оси. Найдите площадь проведённого сечения.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Через точку, делящую радиус основания цилиндра в отношении 3 : 2, считая от центра основания, проведено сечение цилиндра, параллельное его оси. Найдите площадь проведённого сечения.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $D = 2R$ и высоте цилиндра $H$. Площадь этого сечения по условию равна $S$. Следовательно, $S = D \cdot H = 2R \cdot H$. Из этой формулы можно выразить высоту цилиндра через площадь осевого сечения и радиус основания: $H = \frac{S}{2R}$.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, также является прямоугольником. Одна из его сторон равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $L$ в основании цилиндра. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = L \cdot H$.

Найдем длину хорды $L$. По условию, секущая плоскость проходит через точку на радиусе, которая делит его в отношении $3:2$, считая от центра. Это означает, что расстояние от центра основания до хорды $L$ составляет $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ от длины радиуса. Обозначим это расстояние как $d$. $d = \frac{3}{5}R$.

Рассмотрим вид на основание цилиндра сверху. Хорда $L$, радиус $R$, проведенный к концу хорды, и перпендикуляр $d$, опущенный из центра на хорду, образуют прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются расстояние $d$ и половина хорды $\frac{L}{2}$, а гипотенузой — радиус $R$. По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2$.

Подставим в это уравнение значение $d = \frac{3}{5}R$ и найдем $L$: $R^2 = (\frac{3}{5}R)^2 + (\frac{L}{2})^2$. $R^2 = \frac{9}{25}R^2 + \frac{L^2}{4}$. $\frac{L^2}{4} = R^2 - \frac{9}{25}R^2 = \frac{16}{25}R^2$. $L^2 = 4 \cdot \frac{16}{25}R^2 = \frac{64}{25}R^2$. $L = \sqrt{\frac{64}{25}R^2} = \frac{8}{5}R$.

Теперь найдем площадь искомого сечения, подставив выражения для $L$ и $H$: $S_{сеч} = L \cdot H = (\frac{8}{5}R) \cdot (\frac{S}{2R})$. Сократив $R$, получим: $S_{сеч} = \frac{8 \cdot S}{5 \cdot 2} = \frac{8S}{10} = \frac{4}{5}S$.

Ответ: $\frac{4}{5}S$.