Номер 109, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Проведённое сечение является квадратом, а длина хорды, по которой сечение пересекает основание цилиндра, равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Проведённое сечение является квадратом, а длина хорды, по которой сечение пересекает основание цилиндра, равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть дан цилиндр, в котором проведено сечение, параллельное его оси. Это сечение представляет собой прямоугольник. По условию, это сечение является квадратом. Одна сторона этого квадрата — это хорда в основании цилиндра, а другая сторона — высота цилиндра $H$.

Длина хорды, по которой сечение пересекает основание цилиндра, равна 8 см. Обозначим эту хорду как $AB$. Таким образом, $AB = 8$ см.

Поскольку сечение является квадратом, его стороны равны. Следовательно, высота цилиндра $H$ равна длине хорды $AB$:

$H = AB = 8$ см.

Рассмотрим основание цилиндра. Это окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен ее градусной мере, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (как радиусы одной окружности). Поскольку $\angle AOB = 90^\circ$, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным и равнобедренным.

Применим к треугольнику $\triangle AOB$ теорему Пифагора:

$OA^2 + OB^2 = AB^2$

$R^2 + R^2 = 8^2$

$2R^2 = 64$

$R^2 = 32$

$R = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$). Она вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi RH$

Подставим найденные значения $R = 4\sqrt{2}$ см и $H = 8$ см:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 8 = 64\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{2}\pi$ см$^2$.