Страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $90^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с осью цилиндра угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно 4 см.

106. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $90^\circ$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с осью цилиндра угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно 4 см.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ используется формула $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра. Нам нужно найти $R$ и $H$ из условий задачи.

1. Нахождение радиуса основания $R$.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания, а $AB$ — хорда, которая видна из центра под углом $90^\circ$, то есть $\angle AOB = 90^\circ$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы). Поскольку угол при вершине равен $90^\circ$, $\triangle AOB$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.

Расстояние от центра основания до хорды — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из точки $O$ на хорду $AB$. По условию, $OM = 4$ см. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ высота $OM$ является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $OM$ делит угол $\angle AOB$ пополам, то есть $\angle AOM = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$ (где $\angle OMA = 90^\circ$). Мы знаем катет $OM = 4$ см и угол $\angle AOM = 45^\circ$. Гипотенуза $OA$ является радиусом $R$. Найдем $R$ из этого треугольника:

$\cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA}$

$R = OA = \frac{OM}{\cos(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра $H$.

Пусть $O'$ — центр верхнего основания. Ось цилиндра — это отрезок $OO'$, его длина равна высоте $H$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O'$ с концом хорды (например, с точкой $A$), образует с осью цилиндра $OO'$ угол $60^\circ$. То есть, $\angle AO'O = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O'OA$. Ось $OO'$ перпендикулярна плоскости основания, а радиус $OA$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $OO' \perp OA$, и треугольник $\triangle O'OA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle O'OA = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике мы знаем катет $OA = R = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle AO'O = 60^\circ$. Катет $OO'$ является высотой цилиндра $H$. Найдем $H$:

$\tan(\angle AO'O) = \frac{OA}{OO'}$

$H = OO' = \frac{OA}{\tan(60^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности цилиндра.

Теперь, зная радиус $R = 4\sqrt{2}$ см и высоту $H = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см, мы можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot (4\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{32\pi\sqrt{12}}{3}$.

Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$S_{бок} = \frac{32\pi \cdot 2\sqrt{3}}{3} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

Ответ: $S_{бок} = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно. Пусть $H$ — высота цилиндра, тогда $H = O_1O_2$.

Пусть $AB$ — хорда в нижнем основании. По условию, хорду видно из центра нижнего основания $O_1$ под углом $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$. Хорду видно из центра верхнего основания $O_2$ под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$.

Пусть $M$ — середина хорды $AB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AO_1B$ (так как $O_1A = O_1B$ как радиусы основания). Отрезок $O_1M$ является медианой, высотой и биссектрисой. Следовательно, $O_1M \perp AB$ и $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AO_2B$ (так как $O_2A = O_2B$ как наклонные, проведенные из одной точки к концам равных проекций). Отрезок $O_2M$ является медианой, высотой и биссектрисой. Следовательно, $O_2M \perp AB$ и $\angle AO_2M = \frac{\beta}{2}$. Расстояние от центра верхнего основания до хорды — это длина перпендикуляра $O_2M$. По условию, $O_2M = a$.

Ось цилиндра $O_1O_2$ перпендикулярна плоскости нижнего основания, а значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. В частности, $O_1O_2 \perp O_1M$. Таким образом, треугольник $O_1O_2M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1O_2M$:$O_2M^2 = O_1O_2^2 + O_1M^2$$a^2 = H^2 + O_1M^2$Отсюда $H^2 = a^2 - O_1M^2$.

Чтобы найти $H$, нам нужно выразить $O_1M$ через известные величины.

Из прямоугольного треугольника $AO_2M$:$\frac{AM}{O_2M} = \tan(\angle AO_2M)$$\frac{AM}{a} = \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \implies AM = a \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Из прямоугольного треугольника $AO_1M$:$\frac{O_1M}{AM} = \cot(\angle AO_1M)$$O_1M = AM \cdot \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим выражение для $AM$ в формулу для $O_1M$:$O_1M = \left(a \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) \cdot \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = a \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставим полученное выражение для $O_1M$ в формулу для $H^2$:$H^2 = a^2 - \left(a \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2$$H^2 = a^2 - a^2 \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$H^2 = a^2 \left(1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Извлекая квадратный корень, находим высоту цилиндра $H$:$H = \sqrt{a^2 \left(1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)} = a \sqrt{1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $a \sqrt{1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

108. Высота цилиндра равна 5 см. На расстоянии 4 см от его оси проведено сечение, перпендикулярное основаниям цилиндра. Найдите радиус основания, если диагональ сечения равна 13 см.

108. Высота цилиндра равна 5 см. На расстоянии 4 см от его оси проведено сечение, перпендикулярное основаниям цилиндра. Найдите радиус основания, если диагональ сечения равна 13 см.

Обозначим высоту цилиндра как $h$, радиус основания как $R$, расстояние от оси до сечения как $d$, и диагональ сечения как $D$. Из условия задачи имеем:

• Высота цилиндра $h = 5$ см.
• Расстояние от оси до сечения $d = 4$ см.
• Диагональ сечения $D = 13$ см.

Сечение, проведенное перпендикулярно основаниям, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая сторона (обозначим ее $w$) является хордой в круге, лежащем в основании цилиндра.

Диагональ этого прямоугольника $D$, его стороны $h$ и $w$ связаны соотношением теоремы Пифагора: $D^2 = h^2 + w^2$

Подставим известные значения, чтобы найти длину хорды $w$: $13^2 = 5^2 + w^2$ $169 = 25 + w^2$ $w^2 = 169 - 25$ $w^2 = 144$ $w = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим вид сверху на основание цилиндра. Мы видим круг с центром O (точка пересечения с осью цилиндра). В этом круге проведена хорда $w = 12$ см. Расстояние от центра круга O до этой хорды равно $d = 4$ см.

Радиус основания $R$, расстояние до хорды $d$ и половина хорды $\frac{w}{2}$ образуют прямоугольный треугольник, где радиус $R$ является гипотенузой. Катеты этого треугольника равны $d$ и $\frac{w}{2}$.

Вычислим половину длины хорды: $\frac{w}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Снова применим теорему Пифагора, чтобы найти радиус $R$: $R^2 = d^2 + (\frac{w}{2})^2$ $R^2 = 4^2 + 6^2$ $R^2 = 16 + 36$ $R^2 = 52$ $R = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Проведённое сечение является квадратом, а длина хорды, по которой сечение пересекает основание цилиндра, равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

109. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Проведённое сечение является квадратом, а длина хорды, по которой сечение пересекает основание цилиндра, равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть дан цилиндр, в котором проведено сечение, параллельное его оси. Это сечение представляет собой прямоугольник. По условию, это сечение является квадратом. Одна сторона этого квадрата — это хорда в основании цилиндра, а другая сторона — высота цилиндра $H$.

Длина хорды, по которой сечение пересекает основание цилиндра, равна 8 см. Обозначим эту хорду как $AB$. Таким образом, $AB = 8$ см.

Поскольку сечение является квадратом, его стороны равны. Следовательно, высота цилиндра $H$ равна длине хорды $AB$:

$H = AB = 8$ см.

Рассмотрим основание цилиндра. Это окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Хорда $AB$ отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $90^\circ$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен ее градусной мере, то есть $\angle AOB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (как радиусы одной окружности). Поскольку $\angle AOB = 90^\circ$, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным и равнобедренным.

Применим к треугольнику $\triangle AOB$ теорему Пифагора:

$OA^2 + OB^2 = AB^2$

$R^2 + R^2 = 8^2$

$2R^2 = 64$

$R^2 = 32$

$R = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$). Она вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi RH$

Подставим найденные значения $R = 4\sqrt{2}$ см и $H = 8$ см:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot (4\sqrt{2}) \cdot 8 = 64\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Через точку, делящую радиус основания цилиндра в отношении 3 : 2, считая от центра основания, проведено сечение цилиндра, параллельное его оси. Найдите площадь проведённого сечения.

110. Площадь осевого сечения цилиндра равна $S$. Через точку, делящую радиус основания цилиндра в отношении 3 : 2, считая от центра основания, проведено сечение цилиндра, параллельное его оси. Найдите площадь проведённого сечения.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $D = 2R$ и высоте цилиндра $H$. Площадь этого сечения по условию равна $S$. Следовательно, $S = D \cdot H = 2R \cdot H$. Из этой формулы можно выразить высоту цилиндра через площадь осевого сечения и радиус основания: $H = \frac{S}{2R}$.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, также является прямоугольником. Одна из его сторон равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $L$ в основании цилиндра. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = L \cdot H$.

Найдем длину хорды $L$. По условию, секущая плоскость проходит через точку на радиусе, которая делит его в отношении $3:2$, считая от центра. Это означает, что расстояние от центра основания до хорды $L$ составляет $\frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ от длины радиуса. Обозначим это расстояние как $d$. $d = \frac{3}{5}R$.

Рассмотрим вид на основание цилиндра сверху. Хорда $L$, радиус $R$, проведенный к концу хорды, и перпендикуляр $d$, опущенный из центра на хорду, образуют прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются расстояние $d$ и половина хорды $\frac{L}{2}$, а гипотенузой — радиус $R$. По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2$.

Подставим в это уравнение значение $d = \frac{3}{5}R$ и найдем $L$: $R^2 = (\frac{3}{5}R)^2 + (\frac{L}{2})^2$. $R^2 = \frac{9}{25}R^2 + \frac{L^2}{4}$. $\frac{L^2}{4} = R^2 - \frac{9}{25}R^2 = \frac{16}{25}R^2$. $L^2 = 4 \cdot \frac{16}{25}R^2 = \frac{64}{25}R^2$. $L = \sqrt{\frac{64}{25}R^2} = \frac{8}{5}R$.

Теперь найдем площадь искомого сечения, подставив выражения для $L$ и $H$: $S_{сеч} = L \cdot H = (\frac{8}{5}R) \cdot (\frac{S}{2R})$. Сократив $R$, получим: $S_{сеч} = \frac{8 \cdot S}{5 \cdot 2} = \frac{8S}{10} = \frac{4}{5}S$.

Ответ: $\frac{4}{5}S$.

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $30^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $30^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $H$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания. Прямоугольник $AA_1B_1B$ является осевым сечением, следовательно, его стороны равны высоте цилиндра $AA_1 = H$ и диаметру основания $AB = 2R$. Площадь осевого сечения, которую необходимо найти, равна $S_{осев} = AB \cdot AA_1 = 2RH$.

Сечение цилиндра плоскостью $AA_1C$ образует прямоугольник $AA_1C_1C$, где $AA_1$ — образующая (равная высоте $H$), а $AC$ — хорда в основании цилиндра. По условию, площадь этого сечения равна $S$. Таким образом, $S = AC \cdot AA_1 = AC \cdot H$. Из этой формулы мы можем выразить длину хорды $AC$: $AC = \frac{S}{H}$.

Угол между плоскостями $(AA_1B)$ и $(AA_1C)$ определяется углом между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их линии пересечения $AA_1$. Поскольку образующая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, то отрезки $AB$ и $AC$, лежащие в основании, перпендикулярны $AA_1$. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между этими отрезками в основании, то есть $\angle BAC$. По условию, $\angle BAC = 30^\circ$.

Рассмотрим основание цилиндра. В нем находится треугольник $ABC$. Так как $AB$ является диаметром окружности основания, а точка $C$ лежит на этой окружности, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике катет $AC$ и гипотенуза $AB$ связаны соотношением:$AC = AB \cdot \cos(\angle BAC)$.

Подставим известные значения: $AB = 2R$ и $\angle BAC = 30^\circ$.$AC = 2R \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Теперь у нас есть два выражения для $AC$: $AC = \frac{S}{H}$ и $AC = R\sqrt{3}$. Приравнивая их, получаем:$\frac{S}{H} = R\sqrt{3}$.

Выразим из этого равенства произведение $RH$, которое нам понадобится для вычисления площади осевого сечения:$RH = \frac{S}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем площадь осевого сечения $S_{осев}$:$S_{осев} = 2RH = 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{2S}{\sqrt{3}}$.

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$S_{осев} = \frac{2S \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2S\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2S\sqrt{3}}{3}$.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину этой хорды, образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

112. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, площадь которого равна $S$. Сечение пересекает нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом $\alpha$. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину этой хорды, образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Сечение, проведенное параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одной его стороной является хорда $AB$ в основании цилиндра, а другой — высота цилиндра $H$. Площадь этого сечения равна $S$, следовательно, $S = AB \cdot H$.

Рассмотрим нижнее основание цилиндра. Пусть $O$ — центр этого основания. Хорда $AB$ видна из центра под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как $OA = OB = R$. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $OM$ является высотой, медианой и биссектрисой треугольника $AOB$.

В прямоугольном треугольнике $AOM$ имеем:

$\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$

Длина половины хорды $AM = OA \cdot \sin(\angle AOM) = R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Тогда длина всей хорды $AB = 2 \cdot AM = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим это выражение в формулу площади сечения:

$S = \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot H$ (1)

Теперь рассмотрим отрезок, соединяющий центр верхнего основания $O_1$ и середину хорды $M$. Этот отрезок $O_1M$ образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Проекцией отрезка $O_1M$ на плоскость нижнего основания является отрезок $OM$. Следовательно, угол между $O_1M$ и плоскостью основания — это $\angle O_1MO = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1OM$. Катет $O_1O$ равен высоте цилиндра $H$. Катет $OM$ найдем из треугольника $AOM$:

$OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

В треугольнике $O_1OM$ тангенс угла $\gamma$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\gamma) = \frac{O_1O}{OM} = \frac{H}{R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Отсюда выразим $H$:

$H = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $R$ и $H$. Решим эту систему.

Найдите высоту цилиндра

Из уравнения (2) выразим $R$: $R = \frac{H}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)}$.

Подставим это выражение для $R$ в уравнение (1):

$S = 2 \left( \frac{H}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)} \right) H \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$S = \frac{2H^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)} = \frac{2H^2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\tan(\gamma)}$

Выразим $H^2$:

$H^2 = \frac{S \tan(\gamma)}{2 \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{S}{2} \tan(\gamma) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{S}{2} \tan(\gamma) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $H = \sqrt{\frac{S}{2} \tan(\gamma) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Найдите радиус его основания

Подставим выражение для $H$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$S = 2R \left( R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma) \right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$S = 2R^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\gamma)$

Используем формулу синуса двойного угла: $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$. В нашем случае $2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sin(\alpha)$.

$S = R^2 \sin(\alpha) \tan(\gamma)$

Выразим $R^2$:

$R^2 = \frac{S}{\sin(\alpha) \tan(\gamma)}$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \sqrt{\frac{S}{\sin(\alpha) \tan(\gamma)}}$

Ответ: $R = \sqrt{\frac{S}{\sin(\alpha) \tan(\gamma)}}$