Номер 107, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

107. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом $\alpha$, а из центра верхнего основания — под углом $\beta$. Расстояние от центра верхнего основания до проведённой хорды равно $a$. Найдите высоту цилиндра.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно. Пусть $H$ — высота цилиндра, тогда $H = O_1O_2$.

Пусть $AB$ — хорда в нижнем основании. По условию, хорду видно из центра нижнего основания $O_1$ под углом $\alpha$, то есть $\angle AO_1B = \alpha$. Хорду видно из центра верхнего основания $O_2$ под углом $\beta$, то есть $\angle AO_2B = \beta$.

Пусть $M$ — середина хорды $AB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AO_1B$ (так как $O_1A = O_1B$ как радиусы основания). Отрезок $O_1M$ является медианой, высотой и биссектрисой. Следовательно, $O_1M \perp AB$ и $\angle AO_1M = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AO_2B$ (так как $O_2A = O_2B$ как наклонные, проведенные из одной точки к концам равных проекций). Отрезок $O_2M$ является медианой, высотой и биссектрисой. Следовательно, $O_2M \perp AB$ и $\angle AO_2M = \frac{\beta}{2}$. Расстояние от центра верхнего основания до хорды — это длина перпендикуляра $O_2M$. По условию, $O_2M = a$.

Ось цилиндра $O_1O_2$ перпендикулярна плоскости нижнего основания, а значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. В частности, $O_1O_2 \perp O_1M$. Таким образом, треугольник $O_1O_2M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1O_2M$:$O_2M^2 = O_1O_2^2 + O_1M^2$$a^2 = H^2 + O_1M^2$Отсюда $H^2 = a^2 - O_1M^2$.

Чтобы найти $H$, нам нужно выразить $O_1M$ через известные величины.

Из прямоугольного треугольника $AO_2M$:$\frac{AM}{O_2M} = \tan(\angle AO_2M)$$\frac{AM}{a} = \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \implies AM = a \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Из прямоугольного треугольника $AO_1M$:$\frac{O_1M}{AM} = \cot(\angle AO_1M)$$O_1M = AM \cdot \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим выражение для $AM$ в формулу для $O_1M$:$O_1M = \left(a \cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) \cdot \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = a \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставим полученное выражение для $O_1M$ в формулу для $H^2$:$H^2 = a^2 - \left(a \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2$$H^2 = a^2 - a^2 \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$H^2 = a^2 \left(1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Извлекая квадратный корень, находим высоту цилиндра $H$:$H = \sqrt{a^2 \left(1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)} = a \sqrt{1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $a \sqrt{1 - \tan^2\left(\frac{\beta}{2}\right) \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$