Номер 114, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота — 19 см. Плоскость $\alpha$ пересекает его основания по хордам длиной 10 см и 24 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания цилиндра.

114. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота — 19 см. Плоскость $\alpha$ пересекает его основания по хордам длиной 10 см и 24 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота, $O_1$ и $O_2$ — центры верхнего и нижнего оснований. По условию, $R = 13$ см, $H = 19$ см. Плоскость $\alpha$ пересекает основания цилиндра по хордам $AB$ и $CD$ длинами $l_1 = 10$ см и $l_2 = 24$ см соответственно.

Сначала найдем расстояния от центров оснований до этих хорд. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1MA$, где гипотенуза $O_1A = R = 13$ см и катет $AM = l_1/2 = 5$ см, расстояние от центра до хорды $d_1 = O_1M$ найдем по теореме Пифагора: $d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Аналогично, пусть $N$ — середина хорды $CD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle O_2NC$, где гипотенуза $O_2C = R = 13$ см и катет $CN = l_2/2 = 12$ см, расстояние от центра до хорды $d_2 = O_2N$ равно: $d_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Искомый угол $\phi$ между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания — это двугранный угол. Чтобы его найти, рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной хордам $AB$ и $CD$. В этом сечении угол $\phi$ будет равен углу наклона прямой $MN$, соединяющей середины хорд, к плоскости основания.

Построим прямоугольный треугольник для нахождения этого угла. Один его катет (вертикальный) равен высоте цилиндра $H = 19$ см. Другой катет (горизонтальный), обозначим его $L$, равен расстоянию между точками $M$ и $N$ в проекции на плоскость основания.

По условию, центры оснований $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что хорды $AB$ и $CD$ (если их спроецировать на одну плоскость) лежат по разные стороны от оси цилиндра. Следовательно, горизонтальное расстояние $L$ между их серединами равно сумме расстояний $d_1$ и $d_2$: $L = d_1 + d_2 = 12 + 5 = 17$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике мы знаем оба катета: $H = 19$ см и $L = 17$ см. Тангенс искомого угла $\phi$ (угла, прилежащего к катету $L$) равен отношению противолежащего катета $H$ к прилежащему $L$: $\tan(\phi) = \frac{H}{L} = \frac{19}{17}$.

Отсюда, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{19}{17}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{19}{17}\right)$.