Страница 15 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая отрезок $OO_1$ и пересекающая плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 3 см от точки $O$. В каком отношении проведённая прямая делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$?

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая отрезок $OO_1$ и пересекающая плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 3 см от точки O. В каком отношении проведённая прямая делит отрезок $OO_1$, считая от точки O?

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через заданную образующую и точку пересечения искомой прямой с плоскостью нижнего основания. Это позволит свести трехмерную задачу к планиметрической.

Введем прямоугольную систему координат, в которой ось ординат ($Oy$) совпадает с осью цилиндра $OO_1$, а ось абсцисс ($Ox$) лежит в плоскости нижнего основания. Центр нижнего основания $O$ будет в начале координат $(0,0)$.

• Координаты центра нижнего основания: $O(0,0)$.
• Высота цилиндра $H = 12$ см, поэтому координаты центра верхнего основания: $O_1(0,12)$.
• Радиус основания $R = 6$ см.

Пусть образующая, через середину которой проходит прямая, лежит в нашей плоскости сечения. Ее можно представить как отрезок $AB$, где $A$ лежит на окружности нижнего основания, а $B$ — на окружности верхнего. Координаты этих точек: $A(6,0)$ и $B(6,12)$.

Середина этой образующей, точка $M$, будет иметь координаты:$M = \left(\frac{6+6}{2}, \frac{0+12}{2}\right) = (6,6)$.

Проведенная прямая проходит через точку $M$ и пересекает плоскость нижнего основания (ось $Ox$) в точке $P$, удаленной на 3 см от точки $O$. Таким образом, точка $P$ имеет координаты $(x_P, 0)$, где $|x_P|=3$. Возможны два случая: $P(3,0)$ или $P(-3,0)$.

Эта же прямая пересекает отрезок $OO_1$ (ось $Oy$ на участке от 0 до 12) в некоторой точке $K$. Найдем, какой из двух случаев для точки $P$ возможен.

1. Случай 1: $P(3,0)$.

   Прямая проходит через точки $M(6,6)$ и $P(3,0)$. Уравнение этой прямой: $\frac{y-0}{x-3} = \frac{6-0}{6-3} = \frac{6}{3} = 2$. Отсюда $y = 2(x-3)$. Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (отрезком $OO_1$), подставим $x=0$: $y = 2(0-3) = -6$. Точка пересечения $K$ имеет координаты $(0,-6)$. Эта точка не принадлежит отрезку $OO_1$, который лежит в диапазоне $y \in [0, 12]$. Следовательно, этот случай не соответствует условию задачи.

2. Случай 2: $P(-3,0)$.

   Прямая проходит через точки $M(6,6)$ и $P(-3,0)$. Уравнение этой прямой: $\frac{y-0}{x-(-3)} = \frac{6-0}{6-(-3)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Отсюда $y = \frac{2}{3}(x+3)$. Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x=0$: $y = \frac{2}{3}(0+3) = 2$. Точка пересечения $K$ имеет координаты $(0,2)$. Поскольку $0 \le 2 \le 12$, эта точка принадлежит отрезку $OO_1$. Этот случай соответствует условию задачи.

Итак, точка $K$ делит отрезок $OO_1$ на два отрезка: $OK$ и $KO_1$. Длина отрезка $OK$ равна ординате точки $K$, то есть $OK=2$ см.

Длина всего отрезка $OO_1$ равна высоте цилиндра, то есть $OO_1 = 12$ см.

Тогда длина второго отрезка $KO_1$ равна:$KO_1 = OO_1 - OK = 12 - 2 = 10$ см.

Искомое отношение, считая от точки $O$, равно:$\frac{OK}{KO_1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Альтернативное решение через подобные треугольники:

Рассмотрим треугольники $\triangle POK$ и $\triangle MM'K$, где $M'$ — проекция точки $M$ на ось $OO_1$. Координаты $M'$ — $(0,6)$.

• Треугольник $\triangle POK$ — прямоугольный с катетами $PO = |-3| = 3$ и $OK$.
• Треугольник $\triangle MM'K$ — прямоугольный с катетами $MM' = 6$ и $M'K = OM' - OK = 6 - OK$.

Углы $\angle PKO$ и $\angle MKM'$ являются вертикальными, следовательно, они равны. Поскольку оба треугольника прямоугольные, они подобны по острому углу ($\triangle POK \sim \triangle MM'K$).

Из подобия треугольников следует отношение соответственных сторон:

$\frac{PO}{MM'} = \frac{OK}{M'K}$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{6} = \frac{OK}{6 - OK}$

$\frac{1}{2} = \frac{OK}{6 - OK}$

$1 \cdot (6 - OK) = 2 \cdot OK$

$6 - OK = 2 \cdot OK$

$6 = 3 \cdot OK$

$OK = 2$ см.

Тогда $KO_1 = 12 - 2 = 10$ см.

Отношение $OK:KO_1 = 2:10 = 1:5$.

Ответ: 1:5.

114. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота — 19 см. Плоскость $\alpha$ пересекает его основания по хордам длиной 10 см и 24 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания цилиндра.

114. Радиус основания цилиндра равен 13 см, а высота — 19 см. Плоскость $\alpha$ пересекает его основания по хордам длиной 10 см и 24 см. Центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота, $O_1$ и $O_2$ — центры верхнего и нижнего оснований. По условию, $R = 13$ см, $H = 19$ см. Плоскость $\alpha$ пересекает основания цилиндра по хордам $AB$ и $CD$ длинами $l_1 = 10$ см и $l_2 = 24$ см соответственно.

Сначала найдем расстояния от центров оснований до этих хорд. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1MA$, где гипотенуза $O_1A = R = 13$ см и катет $AM = l_1/2 = 5$ см, расстояние от центра до хорды $d_1 = O_1M$ найдем по теореме Пифагора: $d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Аналогично, пусть $N$ — середина хорды $CD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle O_2NC$, где гипотенуза $O_2C = R = 13$ см и катет $CN = l_2/2 = 12$ см, расстояние от центра до хорды $d_2 = O_2N$ равно: $d_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Искомый угол $\phi$ между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания — это двугранный угол. Чтобы его найти, рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной хордам $AB$ и $CD$. В этом сечении угол $\phi$ будет равен углу наклона прямой $MN$, соединяющей середины хорд, к плоскости основания.

Построим прямоугольный треугольник для нахождения этого угла. Один его катет (вертикальный) равен высоте цилиндра $H = 19$ см. Другой катет (горизонтальный), обозначим его $L$, равен расстоянию между точками $M$ и $N$ в проекции на плоскость основания.

По условию, центры оснований $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от плоскости $\alpha$. Это означает, что хорды $AB$ и $CD$ (если их спроецировать на одну плоскость) лежат по разные стороны от оси цилиндра. Следовательно, горизонтальное расстояние $L$ между их серединами равно сумме расстояний $d_1$ и $d_2$: $L = d_1 + d_2 = 12 + 5 = 17$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике мы знаем оба катета: $H = 19$ см и $L = 17$ см. Тангенс искомого угла $\phi$ (угла, прилежащего к катету $L$) равен отношению противолежащего катета $H$ к прилежащему $L$: $\tan(\phi) = \frac{H}{L} = \frac{19}{17}$.

Отсюда, искомый угол равен $\arctan\left(\frac{19}{17}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{19}{17}\right)$.

115. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

115. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а высота призмы — $H$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около призмы.

Поскольку правильная четырехугольная призма вписана в цилиндр, ее основания (квадраты) вписаны в основания цилиндра (круги), а высота призмы равна высоте цилиндра. Таким образом, высота цилиндра также равна $H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = D \cdot H$.

Основание призмы — квадрат со стороной $a$ — вписано в окружность, которая является основанием цилиндра. В этом случае диаметр окружности $D$ равен диагонали вписанного квадрата $d$.

Найдем диагональ квадрата по теореме Пифагора. Диагональ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого выступают две стороны квадрата. $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Отсюда диагональ квадрата $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Следовательно, диаметр основания цилиндра $D$ также равен $a\sqrt{2}$.

Теперь можем найти площадь осевого сечения цилиндра, подставив известные значения в формулу: $S_{сеч} = D \cdot H = a\sqrt{2} \cdot H = aH\sqrt{2}$.

Ответ: $aH\sqrt{2}$.

116. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 6 см.

116. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания и высота которого равны 6 см.

Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

где $P_{осн}$ - периметр основания, а $h$ - высота призмы.

По условию задачи, призма вписана в цилиндр. Это означает, что высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы (правильный шестиугольник) вписано в окружность основания цилиндра.

Высота цилиндра, а значит и высота призмы, равна:

$h = 6$ см.

Радиус основания цилиндра равен $R = 6$ см. Этот радиус является радиусом окружности, описанной около правильного шестиугольника в основании призмы.

Сторона правильного шестиугольника ($a$), вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности ($R$):

$a = R = 6$ см.

Периметр основания призмы, которое является правильным шестиугольником, равен:

$P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 6 = 36$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 36 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 216 \text{ см}^2$.

Ответ: $216 \text{ см}^2$.

117. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 16 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

117. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 16 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра

Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $a = 12$ см и $b = 16$ см. Так как цилиндр описан около параллелепипеда, его основание (круг) описано около основания параллелепипеда (прямоугольника). Это означает, что диаметр основания цилиндра равен диагонали прямоугольника в основании.

Найдем диагональ основания $d$ по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Следовательно, радиус основания цилиндра $R$ равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра

Высота цилиндра $H$ равна высоте параллелепипеда $h$. Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания по условию равен $60^\circ$. Этот угол является углом между диагональю $D$ и ее проекцией на плоскость основания, то есть диагональю $d$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике находим высоту $h$ (которая равна высоте цилиндра $H$):
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}$
$H = h = d \cdot \tan(60^\circ) = 20 \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности. Формула может быть записана как $S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi R H = 2\pi R(R + H)$.

Подставим найденные значения $R = 10$ см и $H = 20\sqrt{3}$ см:
$S_{полн} = 2\pi \cdot 10 (10 + 20\sqrt{3})$
Вынесем общий множитель 10 из скобок:
$S_{полн} = 20\pi \cdot 10(1 + 2\sqrt{3})$
$S_{полн} = 200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².

Ответ: $200\pi(1 + 2\sqrt{3})$ см².

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно $a$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

118. Основанием призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно $a$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$. Диагональ боковой грани призмы, содержащей данную сторону основания, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Поскольку цилиндр описан около призмы, то основания призмы вписаны в основания цилиндра, а высота цилиндра равна высоте призмы. Для того чтобы понятие описанного цилиндра было определено однозначно, будем считать, что призма является прямой. В этом случае её боковые грани — прямоугольники.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

Сначала найдём высоту призмы $H$. Основанием призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно $a$. Боковая грань призмы, содержащая эту сторону, является прямоугольником со сторонами $a$ и $H$. Диагональ этого прямоугольника образует с плоскостью основания призмы (то есть со стороной $a$) угол $\beta$. Из прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой призмы $H$ и стороной основания $a$, имеем:

$\tan(\beta) = \frac{H}{a}$

Отсюда высота призмы и цилиндра равна:

$H = a \tan(\beta)$

Теперь найдём радиус основания цилиндра $R$. Он равен радиусу окружности, описанной около треугольника, лежащего в основании призмы. В данном равнобедренном треугольнике сторона, противолежащая углу при вершине, равна $a$, а углы при этой стороне равны $\alpha$. Угол при вершине, противолежащий стороне $a$, равен $180^\circ - 2\alpha$.

Согласно следствию из теоремы синусов, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной треугольника и противолежащим ей углом соотношением:

$2R = \frac{a}{\sin(180^\circ - 2\alpha)}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$2R = \frac{a}{\sin(2\alpha)}$

Отсюда радиус основания цилиндра:

$R = \frac{a}{2\sin(2\alpha)}$

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности цилиндра, подставив найденные значения $R$ и $H$ в исходную формулу:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2\pi \cdot \left(\frac{a}{2\sin(2\alpha)}\right) \cdot (a \tan(\beta))$

После упрощения получаем окончательное выражение:

$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{\pi a^2 \tan(\beta)}{\sin(2\alpha)}$.