Номер 218, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота — 36 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

218. Радиус основания конуса равен 15 см, а высота — 36 см. Найдите радиус шара, описанного около конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного около него шара. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение шара — большую окружность, которая описана около этого треугольника. Вершина конуса и окружность его основания лежат на поверхности шара.

Обозначим радиус основания конуса как $r$, высоту конуса как $h$, и искомый радиус описанного шара как $R$.Из условия задачи имеем:$r = 15$ см$h = 36$ см

Центр описанного шара, обозначим его $O$, лежит на оси конуса (которая совпадает с высотой равнобедренного треугольника в осевом сечении). Пусть вершина конуса — точка $S$, а центр основания — точка $H$. Тогда высота конуса — это отрезок $SH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом основания конуса $r$ и частью высоты конуса. Возьмем точку $A$ на окружности основания конуса. Тогда $HA = r$ — это радиус основания. $OA = R$ — это радиус шара. Расстояние от центра шара $O$ до центра основания конуса $H$ равно $OH$.

Поскольку точка $S$ (вершина конуса) также лежит на сфере, расстояние $OS$ тоже равно радиусу шара $R$. Так как точки $S$, $O$, $H$ лежат на одной прямой (оси конуса), то $SH = SO + OH$ (если центр шара находится между вершиной и основанием) или $SH = OH - SO$. В нашем случае, высота конуса больше радиуса, поэтому центр шара будет находиться между вершиной и основанием.Таким образом, $h = R + OH$, откуда $OH = h - R$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$. По теореме Пифагора:$OA^2 = OH^2 + HA^2$

Подставим известные нам величины в это уравнение:$R^2 = (h - R)^2 + r^2$

Подставим числовые значения $h = 36$ и $r = 15$:$R^2 = (36 - R)^2 + 15^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:$R^2 = 36^2 - 2 \cdot 36 \cdot R + R^2 + 15^2$$R^2 = 1296 - 72R + R^2 + 225$

Сократим $R^2$ с обеих сторон уравнения:$0 = 1296 - 72R + 225$

Перенесем слагаемое с $R$ в левую часть:$72R = 1296 + 225$$72R = 1521$

Теперь найдем $R$:$R = \frac{1521}{72}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 9:$R = \frac{1521 \div 9}{72 \div 9} = \frac{169}{8}$

Преобразуем дробь в десятичное число:$R = 21,125$ см.

Ответ: 21,125 см.