Номер 157, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $b$, а противоположащий ему угол равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, равного $\beta$, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

157. В прямоугольном треугольнике катет равен $b$, а противоположащий ему угол равен $\beta$. Треугольник вращается вокруг прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, равного $\beta$, перпендикулярно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($∠C = 90^\circ$). По условию, катет, противолежащий углу $β$, равен $b$. Пусть $∠B = β$, тогда противолежащий ему катет $AC = b$.Найдем остальные стороны треугольника, используя тригонометрические соотношения:Второй катет $BC$ (обозначим его $a$):$a = BC = \frac{AC}{\tan(β)} = \frac{b}{\tan(β)} = b \cot(β)$.Гипотенуза $AB$ (обозначим ее $c$):$c = AB = \frac{AC}{\sin(β)} = \frac{b}{\sin(β)}$.

Треугольник вращается вокруг прямой $l$, которая проходит через вершину $B$ и перпендикулярна гипотенузе $AB$. Для нахождения площади поверхности тела вращения введем систему координат. Поместим вершину $B$ в начало координат $(0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль гипотенузы $AB$, а ось вращения $l$ — вдоль оси $Oy$.В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $B = (0, 0)$
• $A = (c, 0) = (\frac{b}{\sin(β)}, 0)$

Для нахождения координат вершины $C$ учтем, что отрезок $BC$ имеет длину $a = b \cot(β)$ и образует с отрезком $BA$ (положительным направлением оси $Ox$) угол $β$. Таким образом, координаты точки $C$ равны:$C = (a \cos(β), a \sin(β)) = (b \cot(β) \cos(β), b \cot(β) \sin(β)) = (\frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}, b \cos(β))$.

Тело вращения образуется при вращении площади треугольника $ABC$ вокруг оси $Oy$. Поверхность этого тела состоит из трех частей, образованных вращением каждой из сторон треугольника:

1. Поверхность, образованная вращением гипотенузы $AB$.
2. Поверхность, образованная вращением катета $BC$.
3. Поверхность, образованная вращением катета $AC$.

Площадь полной поверхности тела вращения будет суммой площадей этих трех поверхностей.

1. Площадь поверхности, образованной вращением гипотенузы $AB$ ($S_{AB}$)
Отрезок $AB$ лежит на оси $Ox$ и соединяет начало координат с точкой $A(\frac{b}{\sin(β)}, 0)$. При вращении вокруг оси $Oy$ этот отрезок описывает круг (диск) с радиусом $R_{AB} = c = \frac{b}{\sin(β)}$. Площадь этого круга:$S_{AB} = π R_{AB}^2 = π (\frac{b}{\sin(β)})^2 = \frac{π b^2}{\sin^2(β)}$.

2. Площадь поверхности, образованной вращением катета $BC$ ($S_{BC}$)
Отрезок $BC$ соединяет начало координат $B(0,0)$ с точкой $C(\frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}, b \cos(β))$. При вращении вокруг оси $Oy$ он образует боковую поверхность конуса. Радиус основания этого конуса равен абсциссе точки $C$, а образующая — длине отрезка $BC$.Радиус основания $r_C = x_C = \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}$.Длина образующей $l_{BC} = a = b \cot(β)$.Площадь боковой поверхности конуса:$S_{BC} = π r_C l_{BC} = π \cdot \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)} \cdot b \cot(β) = π \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)} \frac{b \cos(β)}{\sin(β)} = \frac{π b^2 \cos^3(β)}{\sin^2(β)}$.

3. Площадь поверхности, образованной вращением катета $AC$ ($S_{AC}$)
Отрезок $AC$ соединяет точки $A(\frac{b}{\sin(β)}, 0)$ и $C(\frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}, b \cos(β))$. При вращении вокруг оси $Oy$ он образует боковую поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса равны абсциссам точек $A$ и $C$, а образующая — длине отрезка $AC$.Радиусы оснований: $r_A = x_A = \frac{b}{\sin(β)}$ и $r_C = x_C = \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}$.Длина образующей $l_{AC} = b$.Площадь боковой поверхности усеченного конуса:$S_{AC} = π (r_A + r_C) l_{AC} = π (\frac{b}{\sin(β)} + \frac{b \cos^2(β)}{\sin(β)}) \cdot b = \frac{π b^2}{\sin(β)} (1 + \cos^2(β))$.

Общая площадь поверхности тела вращения
Общая площадь $S$ равна сумме площадей трех найденных поверхностей:$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{AC}$$S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} + \frac{π b^2 \cos^3(β)}{\sin^2(β)} + \frac{π b^2(1 + \cos^2(β))}{\sin(β)}$Приведем все слагаемые к общему знаменателю $\sin^2(β)$:$S = \frac{π b^2 + π b^2 \cos^3(β) + π b^2(1 + \cos^2(β))\sin(β)}{\sin^2(β)}$$S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} [1 + \cos^3(β) + (1 + \cos^2(β))\sin(β)]$$S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} [1 + \cos^3(β) + \sin(β) + \sin(β)\cos^2(β)]$

Ответ: $S = \frac{π b^2}{\sin^2(β)} (1 + \sin(β) + \cos^3(β) + \sin(β)\cos^2(β))$