Номер 165, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

165. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основанием является квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$, то есть угол при вершине каждой боковой грани (например, $\angle BSC$) равен $\alpha$.

Конус вписан в пирамиду, следовательно, их вершины совпадают, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (квадрат). Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, площадь которого $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S_{сеч} = r \cdot H$, где $r$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

1. Найдем радиус основания конуса $r$.

Основание конуса — это круг, вписанный в квадрат со стороной $a$. Диаметр такого круга равен стороне квадрата, то есть $2r = a$. Следовательно, радиус основания конуса равен:

$r = \frac{a}{2}$

2. Найдем высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $SO$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$.

Рассмотрим боковую грань пирамиды, например, равнобедренный треугольник $SBC$. Проведем в нем высоту $SK$, которая является апофемой пирамиды. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Поэтому $K$ — середина стороны $BC$, а угол $\angle KSC = \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SKC$ (где $KC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$) найдем апофему $SK$:

$\text{ctg}(\angle KSC) = \frac{SK}{KC} \implies SK = KC \cdot \text{ctg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{a}{2} \text{ctg}\frac{\alpha}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. Его катеты — это высота пирамиды $H = SO$ и отрезок $OK$. Отрезок $OK$ соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому его длина равна половине стороны квадрата: $OK = r = \frac{a}{2}$. Гипотенуза — апофема $SK$.

По теореме Пифагора $SO^2 + OK^2 = SK^2$:

$H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2} \text{ctg}\frac{\alpha}{2}\right)^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = \frac{a^2}{4} \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{4} \left(\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1\right)$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{a^2}{4} \left(\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1\right)} = \frac{a}{2} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1}$

Для существования высоты необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным: $\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1 \ge 0$, что выполняется при $\alpha \le 90^\circ$.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.

Подставим найденные значения $r$ и $H$ в формулу площади:

$S_{сеч} = r \cdot H = \frac{a}{2} \cdot \left( \frac{a}{2} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1} \right) = \frac{a^2}{4} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1}$

Ответ: $\frac{a^2}{4} \sqrt{\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} - 1}$