Номер 169, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которой равно $b$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

169. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которой равно $b$, а угол между боковыми сторонами — $\beta$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\gamma$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=b$ и углом при вершине $A$, равным $\beta$. Двугранные углы при ребрах основания $AB, BC, CA$ равны $\gamma$.

Площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду, находится по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

Поскольку все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр $O$ окружности, вписанной в треугольник основания $ABC$. Таким образом, радиус основания вписанного конуса $r$ равен радиусу окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а образующая конуса $l$ равна апофеме пирамиды (высоте боковой грани, проведенной из вершины $S$).

1. Найдем радиус $r$ вписанной в основание окружности.В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.Проведем высоту, медиану и биссектрису $AM$ из вершины $A$ к основанию $BC$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $MC = \frac{b}{2}$.Центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе $AM$. Радиус $r=OM$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMC$. Угол $\angle OCM$ равен половине угла $\angle C$, так как $CO$ — биссектриса угла $C$.$\angle OCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ - \beta/2}{2} = 45^\circ - \frac{\beta}{4}$.Из треугольника $OMC$ находим $r$:$r = OM = MC \cdot \tan(\angle OCM) = \frac{b}{2} \tan(45^\circ - \frac{\beta}{4})$.

2. Найдем образующую конуса $l$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, где $SO=H$ — высота пирамиды (и конуса), $OM=r$, а $SM=l$ — апофема пирамиды (и образующая конуса). Угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$, следовательно, $\angle SMO = \gamma$.Из треугольника $SOM$ имеем: $\cos(\gamma) = \frac{OM}{SM} = \frac{r}{l}$.Отсюда выразим образующую: $l = \frac{r}{\cos(\gamma)}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.Подставим выражения для $r$ и $l$ в формулу площади:$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot r \cdot \frac{r}{\cos(\gamma)} = \frac{\pi r^2}{\cos(\gamma)}$.Теперь подставим найденное значение $r$:$S_{бок} = \frac{\pi}{\cos(\gamma)} \left( \frac{b}{2} \tan(45^\circ - \frac{\beta}{4}) \right)^2 = \frac{\pi b^2}{4 \cos(\gamma)} \tan^2(45^\circ - \frac{\beta}{4})$.

Ответ: $ \frac{\pi b^2 \tan^2(45^\circ - \frac{\beta}{4})}{4 \cos(\gamma)} $