Номер 75, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $E$ — середина на ребре $CD$ (рис. 6). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AE}$ и $\vec{DA}$;

2) $\vec{AE}$ и $\vec{DB}$.

Рис. 6

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $E$ — середина на ребра $CD$ (рис. 6). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AE}$ и $\vec{DA}$;

2) $\vec{AE}$ и $\vec{DB}$.

Поскольку DABC — это правильный тетраэдр, все его ребра равны a, а все грани являются равносторонними треугольниками. Следовательно, угол между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.

Для решения задачи удобнее всего использовать векторный метод. Введем базис из трех некомпланарных векторов, отложенных от одной вершины, например, от вершины D: $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Длины этих векторов равны длине ребра тетраэдра:
$|\vec{DA}| = |\vec{DB}| = |\vec{DC}| = a$.

Найдем скалярные произведения базисных векторов:
$\vec{DA} \cdot \vec{DB} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DB}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
$\vec{DB} \cdot \vec{DC} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
$\vec{DC} \cdot \vec{DA} = |\vec{DC}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Также нам понадобится скалярный квадрат вектора, который равен квадрату его длины:
$\vec{DA} \cdot \vec{DA} = |\vec{DA}|^2 = a^2$.

Теперь выразим вектор $\vec{AE}$ через базисные векторы. Точка E — середина ребра CD, поэтому $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
Используя правило разности векторов, получаем:
$\vec{AE} = \vec{DE} - \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{DC} - \vec{DA}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{DA}$, подставив выражение для $\vec{AE}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{DA} = \left(\frac{1}{2}\vec{DC} - \vec{DA}\right) \cdot \vec{DA}$

Используя дистрибутивность скалярного произведения, раскроем скобки:
$\vec{AE} \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2}(\vec{DC} \cdot \vec{DA}) - (\vec{DA} \cdot \vec{DA}) = \frac{1}{2}(\vec{DC} \cdot \vec{DA}) - |\vec{DA}|^2$

Подставим ранее вычисленные значения:
$\vec{AE} \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - a^2 = \frac{a^2}{4} - a^2 = \frac{a^2 - 4a^2}{4} = -\frac{3a^2}{4}$

Ответ: $-\frac{3a^2}{4}$

Аналогично найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{DB}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{DB} = \left(\frac{1}{2}\vec{DC} - \vec{DA}\right) \cdot \vec{DB}$

Раскроем скобки:
$\vec{AE} \cdot \vec{DB} = \frac{1}{2}(\vec{DC} \cdot \vec{DB}) - (\vec{DA} \cdot \vec{DB})$

Подставим значения скалярных произведений:
$\vec{AE} \cdot \vec{DB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = -\frac{a^2}{4}$

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$