Номер 69, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=8$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$;

2) $|\vec{a}|=2\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^{\circ}$;

3) $|\vec{a}|=12$, $|\vec{b}|=9$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$.

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a},\vec{b})=30^{\circ};$

2) $|\vec{a}|=2\sqrt{2}, |\vec{b}|=5, \angle(\vec{a},\vec{b})=135^{\circ};$

3) $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=9, \angle(\vec{a},\vec{b})=90^{\circ}.$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ — угол между ними.

1)

Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 8$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

Подставим данные значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos(30^\circ)$

Поскольку $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$

Ответ: $12\sqrt{3}$

2)

Дано: $|\vec{a}| = 2\sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

Подставим данные значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos(135^\circ)$

Поскольку $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -10 \cdot \frac{2}{2} = -10$

Ответ: -10

3)

Дано: $|\vec{a}| = 12$, $|\vec{b}| = 9$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$.

Подставим данные значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \cdot 9 \cdot \cos(90^\circ)$

Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, то:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 108 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0