Номер 65, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $A_1B_1$ отметили точку $E$ так, что $A_1E : EB_1 = 2 : 1$, а на отрезке $A_1D$ — точку $F$ так, что $A_1F : FD = 3 : 2$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{C_1B_1}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$.

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $A_1B_1$ отметили точку $E$ так, что $A_1E : EB_1 = 2 : 1$, а на отрезке $A_1D$ — точку $F$ так, что $A_1F : FD = 3 : 2$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{C_1B_1}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$.

Для решения задачи выразим вектор $\vec{EF}$ через заданные векторы $\vec{C_1B_1}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$. Удобно представить искомый вектор как разность векторов, выходящих из одной точки. Выберем в качестве такой точки вершину $C_1$.
$\vec{EF} = \vec{C_1F} - \vec{C_1E}$
Теперь найдем выражения для векторов $\vec{C_1E}$ и $\vec{C_1F}$ через базисные векторы.

1. Нахождение вектора $\vec{C_1E}$
Точка $E$ лежит на ребре $A_1B_1$, причем $A_1E : EB_1 = 2 : 1$.Вектор $\vec{C_1E}$ можно представить в виде суммы: $\vec{C_1E} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1E}$.
Из соотношения $A_1E : EB_1 = 2 : 1$ следует, что длина отрезка $EB_1$ составляет $\frac{1}{3}$ длины ребра $A_1B_1$. Значит, $\vec{EB_1} = \frac{1}{3} \vec{A_1B_1}$.Тогда $\vec{B_1E} = -\vec{EB_1} = -\frac{1}{3}\vec{A_1B_1}$.
В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным и равным ребрам, равны. Поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$.Вектор $\vec{D_1C_1}$ противоположен вектору $\vec{C_1D_1}$, то есть $\vec{D_1C_1} = -\vec{C_1D_1}$.Следовательно, $\vec{A_1B_1} = -\vec{C_1D_1}$.
Подставим это в выражение для $\vec{B_1E}$:$\vec{B_1E} = -\frac{1}{3}(-\vec{C_1D_1}) = \frac{1}{3}\vec{C_1D_1}$.
Таким образом, вектор $\vec{C_1E}$ равен:$\vec{C_1E} = \vec{C_1B_1} + \frac{1}{3}\vec{C_1D_1}$.

2. Нахождение вектора $\vec{C_1F}$
Точка $F$ делит отрезок $A_1D$ в отношении $A_1F : FD = 3 : 2$.Для нахождения вектора $\vec{C_1F}$ воспользуемся формулой деления отрезка в заданном отношении:$\vec{C_1F} = \frac{2\cdot\vec{C_1A_1} + 3\cdot\vec{C_1D}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{C_1A_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1D}$.
Теперь выразим векторы $\vec{C_1A_1}$ и $\vec{C_1D}$ через базис:
$\vec{C_1A_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1A_1}$. Так как $\vec{B_1A_1} = \vec{C_1D_1}$, то $\vec{C_1A_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{C_1D_1}$.
$\vec{C_1D} = \vec{C_1C} + \vec{CD}$. Так как $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$, то $\vec{C_1D} = \vec{C_1C} + \vec{C_1D_1}$.
Подставим полученные выражения для $\vec{C_1A_1}$ и $\vec{C_1D}$ в формулу для $\vec{C_1F}$:$\vec{C_1F} = \frac{2}{5}(\vec{C_1B_1} + \vec{C_1D_1}) + \frac{3}{5}(\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1})$
$\vec{C_1F} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{2}{5}\vec{C_1D_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \frac{3}{5}\vec{C_1D_1}$
Сгруппируем подобные члены:$\vec{C_1F} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + (\frac{2}{5}+\frac{3}{5})\vec{C_1D_1} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1}$.

3. Вычисление вектора $\vec{EF}$
Теперь вычтем из $\vec{C_1F}$ вектор $\vec{C_1E}$:$\vec{EF} = \vec{C_1F} - \vec{C_1E} = (\frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1}) - (\vec{C_1B_1} + \frac{1}{3}\vec{C_1D_1})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:$\vec{EF} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} - \vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1} - \frac{1}{3}\vec{C_1D_1}$
$\vec{EF} = (\frac{2}{5} - 1)\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + (1 - \frac{1}{3})\vec{C_1D_1}$
$\vec{EF} = -\frac{3}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \frac{2}{3}\vec{C_1D_1}$

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{3}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \frac{2}{3}\vec{C_1D_1}$.