Номер 63, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{MK}$ в виде суммы векторов, идущих по ломаной линии, соединяющей точки $M$ и $K$. Удобно выбрать путь через вершины куба, например, $M \to C_1 \to C \to K$:

$\vec{MK} = \vec{MC_1} + \vec{C_1C} + \vec{CK}$

Теперь последовательно выразим каждый из векторов в этой сумме через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$. Это означает, что вектор $\vec{MC_1}$ равен половине вектора $\vec{B_1C_1}$.

$\vec{MC_1} = \frac{1}{2}\vec{B_1C_1}$

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его противоположные ребра параллельны и равны. Следовательно, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD}$.

Таким образом, получаем: $\vec{MC_1} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

2. Вектор $\vec{C_1C}$ направлен от вершины $C_1$ к вершине $C$, то есть он противоположен вектору $\vec{CC_1}$.

$\vec{C_1C} = -\vec{CC_1}$

В кубе боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

Следовательно: $\vec{C_1C} = -\vec{AA_1}$.

3. Точка $K$ — середина ребра $CD$. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ равен половине вектора $\vec{CD}$.

$\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CD}$

В кубе $\vec{CD} = \vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Следовательно, $\vec{CD} = -\vec{AB}$, и тогда: $\vec{CK} = \frac{1}{2}(-\vec{AB}) = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.

Теперь, когда все компоненты разложены по базисным векторам, подставим их в исходное равенство:

$\vec{MK} = \vec{MC_1} + \vec{C_1C} + \vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{AD} + (-\vec{AA_1}) + (-\frac{1}{2}\vec{AB})$

Запишем слагаемые в порядке, указанном в условии задачи:

$\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AA_1}$