Номер 59, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Умножение вектора на число. Гомотетия. Вариант 1. Упражнения - номер 59, страница 9.

Условие 2020.

59. Дан вектор $\vec{a} (-3; 2; 6)$. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, противоположно направленного с вектором $\vec{a}$, если $|\vec{b}| = 21$.

Условие 2023.

59. Дан вектор $\vec{a} (-3; 2; 6)$. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, противоположно направленного с вектором $\vec{a}$, если $|\vec{b}| = 21$.

Решение.

Решение 2 (2023).

По условию, вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$. Это означает, что векторы коллинеарны, и вектор $\vec{b}$ можно представить в виде произведения вектора $\vec{a}$ на некоторое отрицательное число $k$ ($k < 0$):

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Длина (модуль) вектора $\vec{b}$ связана с длиной вектора $\vec{a}$ через модуль коэффициента $k$:

$|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

Поскольку $k$ — отрицательное число, то $|k| = -k$. Таким образом, мы можем записать:

$|\vec{b}| = -k \cdot |\vec{a}|$

1. Найдем модуль вектора $\vec{a}(-3; 2; 6)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

2. Теперь найдем коэффициент $k$, используя известные значения $|\vec{b}| = 21$ и $|\vec{a}| = 7$:

$21 = -k \cdot 7$

$-k = \frac{21}{7}$

$-k = 3$

$k = -3$

3. Наконец, найдем координаты вектора $\vec{b}$, умножив координаты вектора $\vec{a}$ на найденный коэффициент $k = -3$:

$\vec{b} = -3 \cdot \vec{a} = -3 \cdot (-3; 2; 6) = (-3 \cdot (-3); -3 \cdot 2; -3 \cdot 6) = (9; -6; -18)$

Ответ: $(9; -6; -18)$