Номер 56, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$, если $A (10; -8; 24)$, $B (-2; 8; 4)$, $D (-1; 3; 2)$, $E (2; -1; 7)$?

56. Коллинеарны ли векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{DE} $, если A (10; -8; 24), B (-2; 8; 4), D (-1; 3; 2), E (2; -1; 7)?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{a} = (x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b; z_b)$ должно существовать такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ или, что то же самое, $\frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b} = k$.

Чтобы проверить коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$, сначала найдем их координаты.

1. Находим координаты вектора $\vec{AB}$.
Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек. Даны точки $A(10; -8; 24)$ и $B(-2; 8; 4)$.
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 10; 8 - (-8); 4 - 24) = (-12; 16; -20)$.

2. Находим координаты вектора $\vec{DE}$.
Даны точки $D(-1; 3; 2)$ и $E(2; -1; 7)$.
$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (2 - (-1); -1 - 3; 7 - 2) = (3; -4; 5)$.

3. Проверяем пропорциональность координат.
Сравним отношения соответствующих координат векторов $\vec{AB} = (-12; 16; -20)$ и $\vec{DE} = (3; -4; 5)$:
$\frac{-12}{3} = -4$
$\frac{16}{-4} = -4$
$\frac{-20}{5} = -4$

Так как отношения всех пар соответствующих координат равны одному и тому же числу (-4), то координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ коллинеарны, причем $\vec{AB} = -4\vec{DE}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.