Номер 67, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Образом точки $P(6; -3; 4)$ при гомотетии с центром $A(-2; 1; 0)$ является точка $P_1(38; -19; 20)$. Найдите прообраз $C$ точки $C_1(13; -4; -5)$ при этой гомотетии.

67. Образом точки $P (6; -3; 4)$ при гомотетии с центром $A (-2; 1; 0)$ является точка $P_1 (38; -19; 20)$. Найдите прообраз $C$ точки $C_1 (13; -4; -5)$ при этой гомотетии.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти коэффициент гомотетии $k$, а затем, используя его, найти прообраз точки $C$.

1. Нахождение коэффициента гомотетии

По определению гомотетии с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$, образ $P_1$ точки $P$ связан с ней векторным равенством: $\vec{AP_1} = k \cdot \vec{AP}$.

В условии даны координаты точек: центр гомотетии $A(-2; 1; 0)$, точка $P(6; -3; 4)$ и ее образ $P_1(38; -19; 20)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AP}$ и $\vec{AP_1}$:

$\vec{AP} = (6 - (-2); -3 - 1; 4 - 0) = (8; -4; 4)$.

$\vec{AP_1} = (38 - (-2); -19 - 1; 20 - 0) = (40; -20; 20)$.

Подставим координаты векторов в формулу гомотетии: $(40; -20; 20) = k \cdot (8; -4; 4)$.

Это векторное уравнение равносильно системе уравнений для соответствующих координат:

$40 = k \cdot 8$

$-20 = k \cdot (-4)$

$20 = k \cdot 4$

Из любого из этих уравнений находим, что коэффициент гомотетии $k = 5$.

2. Нахождение прообраза C точки C₁

Теперь найдем прообраз $C$ с неизвестными координатами $(x; y; z)$ для точки $C_1(13; -4; -5)$. Используется та же гомотетия с центром $A(-2; 1; 0)$ и коэффициентом $k=5$.

Для точек $C$ и $C_1$ выполняется аналогичное соотношение: $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AC_1} = (13 - (-2); -4 - 1; -5 - 0) = (15; -5; -5)$.

$\vec{AC} = (x - (-2); y - 1; z - 0) = (x+2; y-1; z)$.

Подставим найденные векторы и значение $k=5$ в формулу:

$(15; -5; -5) = 5 \cdot (x+2; y-1; z)$.

Запишем и решим систему уравнений для координат:

Для координаты x: $15 = 5(x+2) \implies 3 = x+2 \implies x = 1$.

Для координаты y: $-5 = 5(y-1) \implies -1 = y-1 \implies y = 0$.

Для координаты z: $-5 = 5z \implies z = -1$.

Таким образом, координаты прообраза $C$ равны $(1; 0; -1)$.

Ответ: $C(1; 0; -1)$.