Номер 1, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1. Расстояние от каждой из точек $A$, $B$, $C$ и $D$ до начала координат равно 3. Найдите координаты этих точек.

Рис. 1

1. Точки А, В, С и D расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1. Расстояние от каждой из точек А, В, С и D до начала координат равно 3. Найдите координаты этих точек.

Рис. 1

В прямоугольной системе координат начало координат O имеет координаты $(0, 0, 0)$. Расстояние от произвольной точки $P(x, y, z)$ до начала координат вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, расстояние от каждой из точек A, B, C и D до начала координат равно 3.

Точка A
Точка A лежит на оси абсцисс (Ox). Следовательно, её координаты по осям Oy и Oz равны нулю: $A(x_A, 0, 0)$. Из рисунка видно, что точка A находится на отрицательной части оси Ox, поэтому $x_A < 0$. Расстояние от точки A до начала координат равно 3: $\sqrt{x_A^2 + 0^2 + 0^2} = 3$ $\sqrt{x_A^2} = 3$ $|x_A| = 3$ Так как $x_A < 0$, получаем $x_A = -3$. Координаты точки A: $(-3, 0, 0)$.
Ответ: $A(-3, 0, 0)$.

Точка B
Точка B лежит на оси ординат (Oy). Следовательно, её координаты по осям Ox и Oz равны нулю: $B(0, y_B, 0)$. Из рисунка видно, что точка B находится на положительной части оси Oy, поэтому $y_B > 0$. Расстояние от точки B до начала координат равно 3: $\sqrt{0^2 + y_B^2 + 0^2} = 3$ $\sqrt{y_B^2} = 3$ $|y_B| = 3$ Так как $y_B > 0$, получаем $y_B = 3$. Координаты точки B: $(0, 3, 0)$.
Ответ: $B(0, 3, 0)$.

Точка C
Точка C лежит на оси ординат (Oy). Следовательно, её координаты по осям Ox и Oz равны нулю: $C(0, y_C, 0)$. Из рисунка видно, что точка C находится на отрицательной части оси Oy, поэтому $y_C < 0$. Расстояние от точки C до начала координат равно 3: $\sqrt{0^2 + y_C^2 + 0^2} = 3$ $\sqrt{y_C^2} = 3$ $|y_C| = 3$ Так как $y_C < 0$, получаем $y_C = -3$. Координаты точки C: $(0, -3, 0)$.
Ответ: $C(0, -3, 0)$.

Точка D
Точка D лежит на оси аппликат (Oz). Следовательно, её координаты по осям Ox и Oy равны нулю: $D(0, 0, z_D)$. Из рисунка видно, что точка D находится на отрицательной части оси Oz, поэтому $z_D < 0$. Расстояние от точки D до начала координат равно 3: $\sqrt{0^2 + 0^2 + z_D^2} = 3$ $\sqrt{z_D^2} = 3$ $|z_D| = 3$ Так как $z_D < 0$, получаем $z_D = -3$. Координаты точки D: $(0, 0, -3)$.
Ответ: $D(0, 0, -3)$.