Номер 23, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Докажите, что точки $A(-5; 3; 2)$, $B(-23; 0; 17)$ и $C(1; 4; -3)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

23. Докажите, что точки $A (-5; 3; 2)$, $B (-23; 0; 17)$ и $C (1; 4; -3)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), достаточно показать, что два вектора, построенные на этих точках с общим началом, коллинеарны. Возьмем точку A за общее начало и найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются как разность соответствующих координат его конца (точки B) и начала (точки A):

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-23 - (-5); 0 - 3; 17 - 2) = (-18; -3; 15)$

Аналогично для вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (1 - (-5); 4 - 3; -3 - 2) = (6; 1; -5)$

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$. Для этого найдем отношение соответствующих координат:

$\frac{x_{AB}}{x_{AC}} = \frac{-18}{6} = -3$

$\frac{y_{AB}}{y_{AC}} = \frac{-3}{1} = -3$

$\frac{z_{AB}}{z_{AC}} = \frac{15}{-5} = -3$

Поскольку отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (-3), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, и выполняется соотношение $\vec{AB} = -3 \cdot \vec{AC}$. Так как векторы коллинеарны и имеют общее начало в точке A, то точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Для определения взаимного расположения точек на прямой можно воспользоваться полученным ранее соотношением $\vec{AB} = -3 \cdot \vec{AC}$ или сравнить расстояния между точками.

Способ 1: Анализ векторов.

Равенство $\vec{AB} = -3 \cdot \vec{AC}$ показывает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ направлены в противоположные стороны от их общего начала, точки A (поскольку коэффициент пропорциональности $k = -3$ отрицателен). Это означает, что точка A лежит между точками B и C.

Способ 2: Сравнение расстояний.

Найдем расстояния между точками, которые равны длинам (модулям) соответствующих векторов. Если сумма длин двух меньших отрезков равна длине большего отрезка, то точка, являющаяся общей для двух меньших отрезков, лежит между двумя другими.

Длина отрезка AC: $|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 1 + 25} = \sqrt{62}$.

Длина отрезка AB: $|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(-18)^2 + (-3)^2 + 15^2} = \sqrt{324 + 9 + 225} = \sqrt{558} = \sqrt{9 \cdot 62} = 3\sqrt{62}$.

Найдем вектор $\vec{BC}$ и его длину:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (1 - (-23); 4 - 0; -3 - 17) = (24; 4; -20)$.

Длина отрезка BC: $|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{24^2 + 4^2 + (-20)^2} = \sqrt{576 + 16 + 400} = \sqrt{992} = \sqrt{16 \cdot 62} = 4\sqrt{62}$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство $|AB| + |AC| = |BC|$:

$3\sqrt{62} + \sqrt{62} = 4\sqrt{62}$.

Равенство выполняется, следовательно, точка А лежит между точками B и C.

Ответ: Точка A лежит между точками B и C.