Номер 258, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

258. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна $h$, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол $\varphi$. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды $V$ находится по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания пирамиды.

Основание правильной треугольной пирамиды — это равносторонний треугольник. Высота этого треугольника по условию равна $h$. Пусть сторона основания равна $a$. Формула высоты равностороннего треугольника через его сторону: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону $a$ через высоту $h$:

$a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Площадь основания $S_{осн}$ можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2}ah$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} \cdot h = \frac{h^2}{\sqrt{3}} = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдём высоту пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. В правильной пирамиде высота опускается в центр основания (центр описанной и вписанной окружностей), который также является точкой пересечения медиан.

Проекцией бокового ребра на основание является радиус $R$ окружности, описанной около треугольника основания. В равностороннем треугольнике медианы (которые являются и высотами) делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, радиус описанной окружности равен $\frac{2}{3}$ высоты основания:

$R = \frac{2}{3}h$.

В нашем прямоугольном треугольнике катетами являются высота пирамиды $H$ и радиус $R$, а гипотенузой — боковое ребро. Угол $\phi$ по условию — это угол между боковым ребром (гипотенузой) и высотой пирамиды $H$ (прилежащим катетом). Катет $R$ является противолежащим этому углу.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan\phi = \frac{R}{H}$

Отсюда выразим высоту пирамиды $H$:

$H = \frac{R}{\tan\phi} = \frac{\frac{2}{3}h}{\tan\phi} = \frac{2h}{3\tan\phi}$.

3. Вычислим объём пирамиды.

Подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}H = \frac{1}{3} \cdot \frac{h^2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2h}{3\tan\phi} = \frac{2\sqrt{3}h^3}{27\tan\phi}$.

Выражение можно также записать с использованием котангенса: $V = \frac{2\sqrt{3}h^3}{27}\cot\phi$.

Ответ: $V = \frac{2\sqrt{3}h^3}{27\tan\phi}$.