Номер 260, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — равносторонний треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

260. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды — равносторонний треугольник, площадь которого равна $S$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $H$ — ее высота.

По условию, дана правильная четырёхугольная пирамида, значит, в её основании лежит квадрат. Диагональное сечение такой пирамиды представляет собой треугольник, сторонами которого являются два противолежащих боковых ребра и диагональ основания. В нашем случае это сечение — равносторонний треугольник, площадь которого равна $S$.

Пусть сторона этого равностороннего треугольника равна $l$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}$. Из этой формулы мы можем выразить квадрат стороны треугольника через его площадь:

$l^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$) и её высоту ($H$).

1. Нахождение площади основания.

Диагональ квадрата, лежащего в основании пирамиды, совпадает со стороной диагонального сечения, то есть диагональ $d = l$. Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$. Подставив $d=l$, получаем $S_{осн} = \frac{l^2}{2}$. Теперь подставим выражение для $l^2$, которое мы нашли ранее:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4S}{\sqrt{3}} = \frac{2S}{\sqrt{3}}$

2. Нахождение высоты пирамиды.

Высота правильной пирамиды ($H$) опускается из вершины в центр основания, который является точкой пересечения диагоналей. Таким образом, высота пирамиды совпадает с высотой её диагонального сечения. Высота равностороннего треугольника со стороной $l$ вычисляется по формуле $H = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы выразить $H$ через $S$, удобно сначала найти $H^2$: $H^2 = \left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3l^2}{4}$. Подставим в это выражение $l^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}}$:

$H^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4S}{\sqrt{3}} = \frac{3S}{\sqrt{3}} = S\sqrt{3}$

Отсюда, $H = \sqrt{S\sqrt{3}}$.

3. Вычисление объёма пирамиды.

Теперь, имея выражения для площади основания и высоты, мы можем вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{2S}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{S\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{2S}{3\sqrt{3}} \cdot \sqrt{S} \cdot \sqrt{\sqrt{3}} = \frac{2S\sqrt{S} \cdot 3^{1/4}}{3 \cdot 3^{1/2}} = \frac{2S\sqrt{S}}{3^{3/2 - 1/4}} = \frac{2S\sqrt{S}}{3^{5/4}}$

Чтобы представить ответ в более стандартном виде, избавимся от иррациональности в знаменателе:

$V = \frac{2S\sqrt{S}}{3\sqrt[4]{3}} = \frac{2S\sqrt{S} \cdot \sqrt[4]{3^3}}{3\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3^3}} = \frac{2S\sqrt{S}\sqrt[4]{27}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt[4]{27}S\sqrt{S}}{9}$

Ответ: $V = \frac{2\sqrt[4]{27}S\sqrt{S}}{9}$.