Номер 270, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты этого треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

270. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4 см. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты этого треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом $60^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 4 см. Найдем его площадь:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

По условию, боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны плоскости основания. Пусть основание — это треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, а вершина пирамиды — $S$. Тогда грани $(SAC)$ и $(SBC)$ перпендикулярны плоскости $(ABC)$. Так как эти две плоскости пересекаются по ребру $SC$, то их линия пересечения $SC$ также перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, ребро $SC$ является высотой пирамиды, $H = SC$.

Третья грань $(SAB)$ наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол между плоскостями — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Построим его. Проведем в треугольнике основания $ABC$ высоту $CM$ к гипотенузе $AB$. Так как $SC$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то $SM$ — наклонная, а $CM$ — ее проекция. По теореме о трех перпендикулярах, так как $CM \perp AB$, то и $SM \perp AB$.
Таким образом, угол $\angle SMC$ является линейным углом двугранного угла между гранью $(SAB)$ и плоскостью основания. По условию, $\angle SMC = 60^\circ$.

Найдем длину высоты $H = SC$. Для этого сначала найдем длину отрезка $CM$. В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$. Его гипотенуза $AB$ по теореме Пифагора равна:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Высота $CM$, проведенная к гипотенузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике, также является медианой и равна половине гипотенузы:
$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SCM$ (угол $\angle SCM = 90^\circ$). Из него найдем высоту пирамиды $H = SC$:
$\tan(\angle SMC) = \frac{SC}{CM} \Rightarrow H = SC = CM \cdot \tan(60^\circ)$
$H = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{6} = \frac{16\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{16\sqrt{6}}{3} \text{ см}^3$.