Номер 273, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a$. Боковая грань, содержащая один из катетов, перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

273. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a$. Боковая грань, содержащая один из катетов, перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.

Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a$. Площадь такого треугольника равна половине произведения его катетов.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$

2. Найдём высоту пирамиды.

По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Пусть основание пирамиды — это $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$, и катетами $AC = BC = a$. Пусть боковая грань, содержащая катет $AC$, перпендикулярна плоскости основания. Обозначим вершину пирамиды как $S$. Таким образом, грань $\triangle SAC$ перпендикулярна плоскости основания $\triangle ABC$.

Также по условию, грань $\triangle SAC$ является правильным треугольником. Поскольку одна из его сторон, $AC$, равна $a$, то все его стороны равны $a$: $SA = SC = AC = a$.

Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания $(ABC)$. Так как плоскость $(SAC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, высота пирамиды будет являться высотой треугольника $\triangle SAC$, проведённой из вершины $S$ к стороне $AC$ (линии пересечения плоскостей).

Найдём высоту правильного треугольника $\triangle SAC$ со стороной $a$. Формула высоты правильного треугольника: $h = \frac{\text{сторона} \cdot \sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, высота пирамиды $H$ равна:

$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Вычислим объём пирамиды.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём пирамиды, подставив найденные значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$V = \frac{a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$