Номер 283, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 108 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз больше диаметра первого?

283. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 108 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз больше диаметра первого?

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде ($V$) находится как произведение площади основания ($S_{осн}$) на высоту уровня жидкости ($h$): $V = S_{осн} \cdot h$. Площадь основания, которое является кругом, вычисляется через диаметр ($d$) по формуле $S_{осн} = \frac{\pi d^2}{4}$. Таким образом, объем жидкости в цилиндре можно выразить как $V = \frac{\pi d^2}{4} \cdot h$.

Пусть $h_1$ и $d_1$ — высота жидкости и диаметр первого сосуда, а $h_2$ и $d_2$ — соответствующие величины для второго сосуда. По условию, $h_1 = 108$ см, а $d_2 = 6d_1$. Поскольку объем жидкости при переливании не меняется, мы можем приравнять объемы в первом и втором сосудах ($V_1 = V_2$):

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Подставим в это равенство известное соотношение диаметров $d_2 = 6d_1$:

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi (6d_1)^2}{4} \cdot h_2$

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi \cdot 36d_1^2}{4} \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi d_1^2}{4}$ (так как диаметр не равен нулю):

$h_1 = 36 \cdot h_2$

Теперь найдем искомую высоту $h_2$, подставив значение $h_1 = 108$ см:

$h_2 = \frac{h_1}{36} = \frac{108}{36} = 3$ см.

Ответ: 3 см.