Номер 290, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

290. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

290. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Найдите отношение объёма этой призмы к объёму цилиндра.

Для решения задачи необходимо найти объемы правильной треугольной призмы и цилиндра, а затем найти их отношение.

1. Объем цилиндра.
Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле: $V_{цил} = S_{осн. цил} \cdot H$, где $S_{осн. цил}$ — площадь основания, а $H$ — высота цилиндра.Основание цилиндра — это круг, его площадь равна $S_{осн. цил} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания.Таким образом, формула объема цилиндра: $V_{цил} = \pi R^2 H$.

2. Объем призмы.
Объем призмы ($V_{пр}$) вычисляется по формуле: $V_{пр} = S_{осн. пр} \cdot h$, где $S_{осн. пр}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.Так как призма вписана в цилиндр, их высоты равны: $h = H$.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Этот треугольник вписан в окружность, которая является основанием цилиндра. Найдем площадь этого треугольника, выразив ее через радиус $R$ описанной окружности.

Связь между стороной равностороннего треугольника ($a$) и радиусом описанной около него окружности ($R$) выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.Отсюда выразим сторону треугольника: $a = R\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн. пр} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.Подставим в эту формулу выражение для $a$ через $R$:$S_{осн. пр} = \frac{(R\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем объем призмы:$V_{пр} = S_{осн. пр} \cdot H = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4} \cdot H$.

3. Отношение объемов.
Найдем отношение объема призмы к объему цилиндра:$\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}R^2 H}{4}}{\pi R^2 H}$.

Сократим одинаковые множители $R^2$ и $H$ в числителе и знаменателе:$\frac{V_{пр}}{V_{цил}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$